令 / 0 k
d sin 2 2 k 0 sin d
sin x v 2 f
振幅 1/2
1/π -5ω0 -3ω0 -ω0 ω0 3ω0 5ω0 1/3π 1/5π
振幅频谱
ω
-1/5π -1/3π
-1/π
功率 1/4
（1/π)2 （1/3π）2 （1/5π）2 （1/π）2 （1/3π）2 （1/5π）2
g ( x) 是G(f )的逆傅里叶变换
g ( x) F {G( f )}
1
g ( x) 为周期函数等间隔的离散的线状谱 g ( x) 为非周期函数连续频谱
总结 傅里叶变换：将函数 g ( x )分解成一系列基元函数 G ( f ) 的线性组合的方法 线性系统 能够应用叠加原理的物理系统 （许多光学系统都可视为这种系统） 一个复杂输入激励引起的输出响应 (1) 激励分解为一系列简单的基元函数的线性组合 (2) 分别计算系统对每个基元输入的响应 (3) 把所有基元响应叠加起来 --得到总响应
原函数
缝函数
x rect ( ) a 0
1
频谱函数
a 2 a x 2 x
asinc ( af )
absinc (af x )sinc (bf x )
aJ 1 ( 2a f x f y )
2 2
傅 里 叶 变 换 对
二维矩形函数 1 x y rect( )rect( ) a b 0
g ( x)

i 2 fx G ( f ) e df

G( f ) F {g ( x)}
G( f )


g ( x)ei 2 fx dx
G ( f ) 为频率f 附近单位频率间隔的振幅。它表征该成分 对 g ( x) 贡献的大小——权重因子 G ( f ) －f 曲线为振幅随频率的分布 G ( f ) 称为 g ( x) 的频谱函数
1 2
1 2
g ( x) exp (ax )
(x)
1
1
2f 2 exp( ) a a
函数
常数
( f )
函数 定义：
( x) 0
x0 x0



( x) dx 1
单缝函数在缝宽趋于零时的极限
函数---点光源
T ( x)
{0
1
md x (2m 1)d / 2, m 0,1,2
其他
展开为傅里叶级数
1 2 2 2 T ( x) sin( 0 x) sin( 3 0 x) sin( 5 0 x) 2 3 5 v0 0 / 2 1 / d 0 2 / d
二. 任意光栅的屏函数及其傅里叶级数展开 严格空间周期性函数的衍射屏 (透射式或反射式) 光栅 一 维 衍 射 屏 周期性 T ( x d ) T ( x)
正弦光栅 黑白光栅 其他屏函数
D D 尺寸D 有限 x , or N 1 2 d
在一定的较大范围内的周期函数—准周期函数 (1) 正弦余弦式 T ( x) T0 an cos 2f n x bn sin 2f n x 的 一 傅维 n 0 n 0 里周 f1 1 / d 基频 叶期 级函 f n nf1 n / d n次波频率 数数
a b x ,y 2 2
其它各处
x 2 y 2 a
x2 y2 1 ) 圆函数 circ ( a 0
其它各处
fx fy
2
2
g( x ) 0
高斯函数
1 cos(2f 0 x )
L 2 L x 2 x
2
( f ) ( f f0 ) ( f f0 )
n,m0
~ Tn ,m
Байду номын сангаас
1 d xd y

d 2 d 2
dx dyT ( x, y ) exp[ 2i( nf x x mf y y )]
d 2 d 2
1 1 fx , fy dx dy
例：振幅型透射光栅的傅里叶级数展开 光栅常数： d 2b 透射率 T ( x) ： --空间周期为d 的函数 --空间位置 x 有确定的函数关系
n 0 2
cn
bn cn a n b n , n tan an
2 1
n
an
bn
屏函数为实函数 (3) 指数式
T , T T T n n n n
i ( 2f n x n ) n0
T ( x) T0 Tn e
~ i 2f n T0 Tn e
ω0
功率频谱
-5ω0 -3ω0 -ω0
3ω0 5ω0
ω
以一束单色平行光照射光栅，在其后的透镜焦平面上 得到的光强分布与该光栅本身的透射函数的傅里叶功 率谱相同。 在焦面上的亮点代表直流成分，每一对亮点代表光栅 的一个空间频率。
x v f
非周期函数： g ( x )
任意屏函数的傅里叶展开

满足狄利克雷条件并在无穷区间 (, ) 绝对可积 一系列基元函数的线性积分 形式 G(f )是g(x)的傅立叶变换
空间频率：单位长度内变化的次数。
注意：时间频率只有一维，为正；空间频率有三维， 可正可负。
1 2 2 2 T ( x) sin( 0 x) sin( 3 0 x) sin( 5 0 x) 2 3 5
表示一个周期为d 的黑白光栅可看成由频率 0 1/ d 及3 0 , 5 0 许多正弦光栅（强度按正弦分布）组成。
2. 空间频谱（spatial frequency spectrum） 简谐振动是最简单的周期性运动，几个简谐运动可合 成一个较复杂的周期性运动。 傅里叶分析：已知一周期性运动，求组成它的各个简 谐运动频率及相应振幅的方法。 所得的频率及相应振幅的集合为该周期性运动的频谱。 注意：频谱取一系列分立的值。


1 d T0 2d T ( x)dx, d 2 2 d an 2d T ( x) cos 2f n xdx, d 2 2 bn T ( x) sin 2f n xdx d
d 2 d 2
(2) 余弦相移式
T ( x) T0 cn cos( 2f n n )
Contents
chapter 6
傅里叶变换 Fourier transformation 衍射理论中的傅里叶方法 the method of Fourier in diffraction theory 理想薄透镜的傅里叶变换作用 Fourier transform in the thin lens 阿贝成像原理 Abbe imaging principle 空间频谱滤波 spatial frequency filtering 光全息术 holography
CH 6-1
傅里叶变换
Fourier transform
6.1 傅里叶变换
一、光学图像的傅里叶频谱分析
1. 空间频率
在光学信息处理中，光学系统所传递和处理的信息是 随空间变化的函数。
一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布，这种 分布的特征可用空间频率表明。把图象看作是由各种 方向、各种间距的线条组成。
n0
1 ~ i n 傅里叶系数由 Tn Tn e (an ibn ) 2 积分直接给出 d 1 ~ Tn 2d T ( x) exp( i 2f n x)dx d 2
T n
原函数 T ( x) 中各种空间频率的成分所占比例
二 维 周 期 函 数
~ T ( x, y ) T0 Tnm exp[ 2i(nf x x mf y y )]