设 Q为单位时间内通过的热量简称为热流，则

Q



dT

A
傅立叶定律
dz 若设热流密度为JT,则：
JT

dT dz
20
T2 ( T1 )
B
温度梯度 dT
dz
z0
dS dQ
T T(z)
表示流体中温度沿z
轴方向的空间变化率。
o
T1
Ax
在dt时间内，从温度较高的一侧，通过这一平
面向温度较低的一侧所传递的热量，与这一平面所
在处的温度梯度和面积元成正比
热导率
能量流动方 向与温度梯 度方向相反
恒为正值
dQ κ dT dSdt dz z0
21
三、扩散现象的宏观规律 扩散 (diffusion)
在混合气体内部，当某种气体在各处的密度不均匀时， 这种气体将从密度大的地方向密度小的地方散布，这 种现象叫扩散。
输运过程
扩散：密度 不均匀 m的迁移
热传导：温度T不均均 热的迁移
内摩擦(黏性)： 分子定向速度u 不均匀 定向运动动量 p的迁移 22
§ 5-1 气体分子的平均自由程
一、分子的平均自由程和碰撞频率
非平衡态平衡态，碰撞起重要作用。
克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其 他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变， 所走的路程非常曲折。
若不均


一种气体


n不均

p不均

生宏 气流
22
我们这里研究的是：纯扩散--仅仅是由于分 子的无规则运动和碰撞引起的扩散过程。
实现纯扩散的条件
不存在宏观气流
P、T各处均匀 n各处均匀 不同气体的分子质量相等
即：混合气体各处的密度、压强、温度都相 同，只是组成混合气体的各组分密度不均匀
z L
u0 B
流体沿x 方向作定向流动, 并且流动速率u沿z方向递
z0
df dS df
增 。 u是z的函数 u u(z)
u u(z)
流速梯度 du
o
u0
A
x
dz
沿z方向所出现的流速空间
变化率。
14
z 黏性力的大小与两部分 L
的接触面dS和截面所在
处的流速梯度成正比。 z0
u0 B
df dS df
1 2
(t

r

2s)k TB33
因此,在 dt 时间内,通过 dS 总能量为
dQ

1 6
n
v
dt
dS
(t

r 2
2s)
k (TA
TB
)
引入温度梯度，则有
TA
TB

2

dT dz
z0
因此 dQ 1 n v λ (t r 2s) k dT dsdt
根据动量定理: dK = fdt
将
f


(
du dz
)
z0
dS
代入上式得:
注:因为动量是沿着流速减小方向输运的，若 du 0 dz
则 dk<0 ,而粘滞系数总是正的,所以应加一负号
16
：与流体的性质和状态有关,
可以实验测定。
测定 的实验装置简图：
A筒保持一定的转速，B筒相应 地偏转一定的角度（可由小镜反 射的光线测得）； 悬丝的扭转系数和 B 筒的半径 都是已知的，可算出内摩擦力；
23
24
系统中某种气体的密度 沿z 方向增大,其不均匀
情况用密度梯度d /dz
z
2 > 1
2
表示。
z0
dM
ΔS
设想在z=z0 处有一界面
dS,实验指出，在dt内
O
通过dS 面传递的气体 质量为:
x
1
y
dM

D d
dz
dSdt z0
—菲克定律
D 为扩散系数,单位m 2s-1，表示单位时间、 单位面积、单位密度梯度上所输运的质量25 。
z
4
平均碰撞频率与平均速率的关系
理想气体，在平衡态下，并假定： （1）只有一种分子； （2）分子可视作有效直径为 d 的刚球；
（3）只有某一个分子A以平均相对速率u
运动，
其余的分子静止。分子A走的是一条折线。
一秒钟内
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
它与多少

个分子碰

π d2
撞?

pz

dS
pz
x
u0
因此,在 dt 时间内,
在 dS 下方的流体层 净增加的定向动量为
dk 1 n v dt dS p p
6
z0 λ
z0 λ
1 n v d t d S d p 2
6 d p
d z z0
d z z0
：表示
z z0处的动量梯度
第五章 气体内的输运过程
引言 §5-1 气体分子的平均自由程 §5-2 输运过程的宏观规律 §5-3 输运过程的微观解释
引言
输运过程 (transport process)
非平衡态下气体各部分性质不均匀。 热运动+碰撞、p、m的迁移
气体系统由非平衡态向平衡态转变的过程，就成为输运过程。 黏性现象，热传导现象，扩散现象是典型的输运过程

2.68 1025
/m3
z 2 πd2vn
2 π 31010 2 425 2.681025
4.55109 /s
7
平均自由程与压强、温度的关系
一个分子在相邻两次碰撞之间的平均
路程称为平均自由程，记作 。
v v 1
z 2 π d 2 vn 2 π d 2n
下层的定向动量增大,所以宏观上看 等于下层受到了指向前方的内摩擦力。
26
内摩擦现象的微观本质是： 分子在无序的热运动中输运定向动量的过程。
下面近似地推导关系式：
气体黏性系数 1 nmv
3
简化模型:
(1) u 宏观流速 v 分子热运动平均速率
如果
可认为气体处于平衡态
(2)认为dS上下交换的分子都是沿z轴运动的，
29
dk 1 n v dt dS dp 2λ
6
dz z0
由牛Ⅱ, dS下方的流体层相应受到的
内摩擦力就是 df dk 1 n v dS dp λ
dt 3
dz z0
因为定向运动动量为 p = m u
d f 1 n m v d u d S d f d u d S
v v 碰撞夹角 有各种可能（0 — 180）
u
90 u 2v
z 2 π d 2nv
6
例. 数量级的概念：
氧气O2 ,标准状态下，以 d 310-10m估计
8RT 8 8.31 273
v
πM
π 32 103 425m/s
n

P kT

1.01 105 1.381023 273
并且单位体积中各有 n 的分子沿 + z, - z
方向运动。
6
27
这样,在dt 时间内,从 dS一侧跑到另一侧 的分子数为
dN 1 n v dt dS 6
z
z0
z0
z0
u u0

pz

dS
pz
x
u0
（2）假设分子越过 dS 面之前都是在离 dS 面距离
约为平均自由程处发生最后一次碰撞的，

6.9 108 m
空气摩尔质量为 2910-3kg/mol
空气分子在标准状态下
8RT
的平均速率
v
448m / s
M mol
z
v


448 6.9 108
6.5 109 s1
11
二、分子按自由程的分布
全部分子中, 自由程介于任一给定长度区间xx+dx内 的分子有多少?
1
2 πd 2n
因为P = nkT 所以也可以写成
kT
2 πd2P
8
kT
2 πd2P
当温度一定时, 压强越小,平均自由程越大。
例. 空气 , t = 0oC, d 3.510-10m,
在不同压强时对应的 平均自由程 ：
P (mmHg) 760 1
10-4
( m) 710-8 510-5 510-1
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均 碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气 的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa, d 3.5 1010 m
10
kT 2 d 2 p

1.38 1023 273 1.41 3.14 (3.5 1010 ) 1.01105
而且它们带过来的定向动量,就是在那里
的定向动量…… “一次同化论”假设。
分子由上到下携带 的动量是 pz0 ;

分子由下到上携带 的动量是 pz0 .
28
分子由上到下携带 的动量是 pz0 ;
分子由下到上携带 的动量是 pz0 .
z
z0
z0
z0
u u0
u
A
d


n

2d
— 碰撞截面 （collision cross-secti5on5 ）