FS
FS
剪力为正
FS
FS
剪力为负
②弯矩—绕截面转动的内力偶矩，符号：M，正负号规 定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压 下拉的弯矩为正)。
M
M
弯矩为正
M
M
弯矩为负
例一 求下图所示简支梁11与22截面的剪力和弯矩。 弯曲内力
F=8kN
q=12kN/m
A
1
2m
1
2
B
2
1.5m
FA 1.5m
2、
√
• 3、两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母 线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面 上的最大切应力分别为 τ1max和τ2max，切变模量分别为G1 和G2。试判断下列结论的正确性。
• （A） τ1max ＞ τ2max ； • （B） τ1max ＜ τ2max ； • （C）若G1＞G2，则有τ1max ＞ τ2max ； • （D）若G1＞G2，则有τ1max ＜ τ2max 。 • 正确答案是 C 。
d
d2x
物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
→
G
d
dx
静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。
T
Ip
d
dx
T GIp
——圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。
2、圆轴中τmax的确定
等直杆：
max
Tm a x WT
3、公式的使用条件：
（1）、等直的圆轴， （2）、弹性范围内工作。
q=12kN/m
FS2 q 1.5 FB 11kN
3、计算2-2 截面的内力
M2
M2
FB
1.5
q 1.5 1.5 2
30 kN
m
FS2
FB
例二
4.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 弯曲内力
1.剪力、弯矩方程：
MFS
FS (x) M (x)
内力与横截面位置坐标x间的函数关系式
2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方，若 其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
3、注意的问题
（1）、截开面上设正值的扭矩方向。
四、薄壁圆筒横截面上的应力
五、剪切虎克定律 G
T
2r0 2t
重点
六、圆轴扭转时横截面上的应力
1、公式推导
几何关系：通过变形规律→应变的变化规律
(140N m)(2m) 109 Pa)(3.0 105
1012 m4 )
1.17
102 rad
由此得轴AC的总扭转角为
AC AB BC 1.50 102 rad - 1.17 10-2 rad 0.33 10-2 rad
各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。
2 刚度校核 轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚
起重机大梁
吊车大梁简化
均匀分布载荷 简称均布载荷
非均匀分布载荷
火车轮轴简化
§4-1 弯曲的概念和实例
1、弯曲：当杆承受垂直于其轴线的外力，或在其
过轴线的平面内作用有外力偶矩时，杆的轴线在变 形后成为曲线的变形形式。
2、梁：以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
§4-1 弯曲的概念和实例
平面弯曲
对称弯曲 平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该
• 解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应 变相同，即γ 1= γ 2= γ ，由剪切胡克定律τ =G γ知，G1＞G2 时， τ1max ＞ τ2max 。
例4 图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA， MB与MC 作用，试计算该
轴的总扭转角φAC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。 已知 MA＝180N·m， MB＝320 N ·m， MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m， G＝80GPa，[θ]＝0.50／m。
利用微分关系作剪力弯矩图
1.先求约束力，再利用截面法计算各分段点FS、M值； 2.利用微分关系判断并画出分段点之间的FS、M图。
例六 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的FS----M图。
X 0, Y 0, M 0
举例说明
y
P
A
RAx RAy
l/2
l
左边固定铰支座，有两个约束反力
B x 右边活动铰支座，1个约束反力
X 0
RAx 0
Y 0
RBy
MA 0
RAy RBy P 0
RBy l P l / 2 0
RBy P / 2
RAy P / 2
再以悬臂梁为例
假设该悬臂梁承受均布载荷 固定端有3个约束反力 建立平衡方程求约束反力
3
重点 六、圆轴扭转时的强度计算
max
Tm a x WT
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
1）校核强度；2）设计截面尺寸；3）确定外荷载。
重点 七、圆轴扭转时的变形：
TL
GI P
TL Tdx
GI P
L GI P
4
重点 八、刚度计算： 1、校核刚度；2、设计截面尺寸；3、确定外荷载。
q(x)
微分关系的几何意义：
弯曲内力
dFS(x) q(x) dx
当q=0时, Fs为水平直线; q<0, Fs递减; q>0, Fs递增
d2M (x) dx2 q(x)
当Fs =0时, M为水平直线; Fs <0, M递减; Fs >0, M递增
①有集中力F作用处两侧横截面上剪力值突变F，F=0时剪力图 无突变 ②有集中力偶Me作用处两侧横截面上弯矩值突变Me，Me=0时 弯矩图无突变 ③若梁上某处既有集中力，又有集中力偶，则该截面上剪力突 变，弯矩也突变。
扭转变形小结
一、扭转的概念 受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面 垂直杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
二、外力：m （外力偶矩）
m 9549 P (N m) ——功率 P千瓦，转速 n转／分。 n
三、内力：T（扭矩）
1、内力的大小确定、画内力图
1
2、内力的符号规定：
2. 微分关系推导：
dx
y
M F1
A
B x M(x)
O
M(x)+dM(x)
x
d q(x)
x
FS(x)
FS(x)+dFS(x)
q(x)
Fy 0 : FS (x) q(x) • dx FS(x) dFS(x) 0
dFS (x) q(x) dx
弯曲内力
4.4 载荷、剪力和弯矩间的关系
dx
y
方向表示截面的位置，纵轴为剪力（或弯矩）的大小。
例二 作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
Fx
剪力、弯矩方程：
A
B
l
FB
FS
MFS
(x) (x)
F F
x
F
| FS |max F
M
| M |max Fl
Fl
例三 图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的
剪力图和弯矩图。
弯曲内力
q
解： 1、求支反力
A
x
B
FS
Fy 0 : FS FB F 0
FS F FB FA
FB
MC 0 : M FB l x F a x 0
M FB l x F a x FA x
二、平面弯曲梁横截面上的内力：
弯曲内力
①剪力—平行于横截面的内力，符号：Fs，正负号规定： 使微段梁产生顺时针转动的剪力为正，反之为负(截面左边 上的剪力向上为正，截面右边上的剪力向下为正)；
作该梁的剪力图和弯矩图。
x
F
A
B
C
a
b
解： 1、求支反力
FA
Fb； l
FB
Fa l
FA
l
FB
2、建立剪力方程和弯矩方程
M (x)
x
FA
FS
FS Fb/ l
Fa/ l
M
Fab/ l
AC段：
FS
(
x)
FA
Fb l
0 x a
M (x)
FA x
Fbx l
0 x a
CB段：
FS M
( (
x) x)
1.5m
3m
FB
解： 1、求支反力
3
M B 0 FA 6 F 4.5 q 3 2 0 FA 15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN (也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
2、计算1-1 截面的内力 FA
F=8kN
FS1
M1 FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
FB
FA
lx
Fa l
a x l
Fa l x a x l
l
• 1、求外力
• 2、求内力——截面法 XA A
• 3、求弯矩
2.内力的正负规定:
RA
P B
RB
①剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
Q(+)
Q(–)
Q(+)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。
FS M
( (
x) x)
FB
FB l
M l
x
a x l
M l x a x l
Mb/ l
l
由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图发生突