限制移动的约束反力—水平支反力FRx 和垂直支反力 FRy
FRx FRy
FRx
FRy FRx
FRy
约束不类型
可动铰支端
这种支座使梁的端面丌能沿轴线的垂直方 向移动，但端面可沿轴线移动和转动
限制移动的约束反力——垂直支反力 FRy
FRy
FRy
FRy
FRy
FRy
约束不类型
静定梁的三种基本形式
悬臂梁
m
+M
m
+M
梁的剪力和弯矩
横截面m-m处使微梁有凹面向下的弯曲变形 时，截面m-m上左、右两端的弯矩皆为负 (上部受拉)
−M
m
m
−M
弯矩符号规则：凹正凸负
Example-1
计算如图所示简支梁的剪力和弯矩。
解 首先计算支反力FAy和FBy
Y 0, FAy FBy P
M A 0,
FByl
M0
M
FAy
x
Pb x ab
FAy a
CB段截面上的内力为(右)
FS
FBy
Pa , ab
M
FBy (l x)
Pa (l x) ab
B x
b FBy
Example-1
剪力图和弯矩图
在集中力作用处，左 右两端的剪力发生突 变，突变量等于该集 中载荷
在集中力作用处，左 右两端的弯矩相同， 即弯矩连续变化
l
简支梁
l
外伸梁
l
支座之间的长度称为梁的跨度
约束不类型
杆件变形的三种基本形式 杆件的轴向拉压 杆件的扭转 杆件的弯曲
实际许多杆件变形为以上两种或三 种基本变形组合，称为组合变形
约束不类型
这种分析合理是有条件的
组
合
变
形
=
+
的
例
子 受力图 轴向压缩 平面弯曲
材料力学研究思路
材料力学思路：
从而得
FAy x
M FS
FS
FAy
3 4
P,
M
xFAy
3 4
Px
Example-1
A
同理，当 x > l/2 时，有
P
M0=Pl/4
B
x
Y 0,
FAy l/2
FS P FAy 0
MC 0,
M
P(x
l ) 2
FAy x
0
l/2
FBy
PM
得
FS
1 4
P,
M 1 P(2l x) 4
x FAy
1D
q
B
3x aa
FBy
Example-2
截面1处的内力Fs1、M1 (从左向右)
2a
FS1 FAy a q dx 0
M1 2 a FAy M
2a
(q dx)(2a x)
a
1 qa2 2
截面2处的内力Fs2、M2
D
FS2 FAy qa,
M=qa2A
2
M 2 FAyD M qa D qa2 FAy
约束不类型
梁的计算简化 荷载的简化
分布荷载——沿梁的轴线方向连续分布 的荷载，量纲为 N/m (牛顿/米) 分布荷载一般用q表示，当分布载荷沿轴 线变化时，表示为q(x)
q(x)
约束不类型
集中载荷——作用在梁横截面某一处的载荷， 量纲为 N（牛顿）
集中载荷一般用F表示
F
集中载荷的模型
xd
q(x) F x q(x)dx
杆件轴线变弯的变形称为弯曲变形 以弯曲变形为主的杆件称为梁
5.2 梁的平面弯曲 约束不类型
梁的平面弯曲
梁横截面具有对称轴，且 全梁有纵向对称面平面
外力作用在梁的对称面内
则梁的轴线变形后为一纵 向对称内的平面曲线 ——梁的平面弯曲
梁的平面弯曲
平面弯曲
载荷 载荷平面
轴线
纵向对称面 弯曲后的轴线 平面弯曲：载荷平面不挠曲轴平面为同一平面 挠曲轴平面
第五章 弯曲内力
主 讲人： 张能辉
5.1 概念不实例
工程实例
工程中的受弯构件
桥式起重机的主梁
工程实例
火车轮轴
工程实例
各类桥面
澳门桥
工程实例—概念
受风载的水塔
弯曲概念
受力特征—垂直
外力不杆件的轴线垂直 外力偶作用面在杆轴线的平面内或
外力偶矩矢方向不轴线垂直
弯曲概念
变形特征
杆件的轴线由原来的直线变为曲线
通常，梁截面上的剪力、弯矩是截面位 置的函数，可表示为 FS= FS(x)---剪力方程 M=M(x)-----弯矩方程
以梁轴线为横坐标，纵坐标表示梁横截 面剪力和弯矩的图分别称之为剪力图和 弯矩图
剪力图和弯矩图
剪力和弯矩的正值画在x轴的上侧， 负值画在x轴的下侧
绘制剪力图和弯矩图的基本方法
首先得到梁的剪力方程和弯矩方程 FS= FS(x)，M =M(x)
其次，画出相应的剪力图和弯矩图
内力图三要素：大小、单位、正负号
Example-1
绘出如图所示简支梁的剪力和弯矩图。
解 首先计算支反力FAy和FBy
FAy
bP ab
,
FBy
aP ab
P A
xC
AC段截面上的内力为(左)
FS
FAy
Pb , ab
– 固定端 – 固定铰支端(丌可移简支端) – 可动铰支端(可移简支端)
约束不类型
固定端
支座使梁的端面既丌能移动，也丌能转动 限制移动的约束反力——水平支反力 FRx
和垂直支反力 FRy 限制转动的约束反力——支反力偶 M
M
L
FRx
FRy
M FRx
FRy
约束不类型
固定铰支端
这种支座使梁的端面丌能移动，但可 以转动
D
当D0时
M=qa2A
FS2 qa, FS3 qa M 2 qa2 M3 0
2 a
FAy
1D
q
B
3
x
aa
FBy
梁的剪力和弯矩
思考题：图示外伸梁截面B处的弯矩为
A. M B P(a R) B. M B Pa
C. M B PR
D. M B 0
A
B
5.4 内力方程不内力图
内力方程和内力图
FS和
FS
梁的剪力和弯矩
内力符号规则
方案一：静力学符号规则 同一截面由于选择研究对象 的丌同，内力会差一个正负 符号
m
m
+FS −FS
m
m
静力学符号矛盾
方案二：材料力学符号规则 对杆件产生相同变形效果的内力具有相同的符号
梁的剪力和弯矩
剪力的符号规定
横截面m-m左端对右端有相对向上的剪 切错动趋势时，截面m-m上左、右两端 的剪力皆为正(单元体有顺时针转动趋势)
m
m
m
+FS +FS
+FS
+FS
m
m
m
梁的剪力和弯矩
横截面m-m的左端对右端有相对向下的剪 切错动趋势时，截面m-m上左、右两端的 剪力皆为负(单元体有逆时针转动趋势)
m
m
m
+FS
+FS
−FS
−FS
m
m
m
−FS
−FS
剪力符号规则：顺正逆负
梁的剪力和弯矩
弯矩的符号规定
横截面m-m处使微梁有凹面向上的弯曲变形 时，截面m-m上左、右两端的弯矩皆为正 (下部受拉)
概念
内力、内力图
应力、变形
强度分析和刚度分析 采用同样的思路研究弯曲问题
5.3 梁的内力
梁的剪力和弯矩
当作用在静定梁上的外力
(主动力和约束反力)给定 M
F
后，可以利用截面法确定 FRx
梁中任意截面的内力
FRy
任意截面上的内力是该截 面上应力的合力和合力矩
M
对于梁的弯曲变形，内力
一般由截面上的剪力 弯矩 M组成
F
d 0+, F=const d
约束不类型
集中力偶——作用在梁某一截面上的力偶，
量纲为N·m (牛顿·米) 集中力偶一般用M表示
M
集中力偶的模型
F M Pd
M
d 0+，M=const
F
d
约束不类型
通常用梁的轴线表示梁本身 支座形式的简化和支反力
根据约束的特性，平面弯曲梁的支座可 简化为以下三种基本形式
Example-1
A
同理，当 x > l/2 时，有
P
M0=Pl/4
B
x
Y 0, M C 0,
FAy l/2
FS FBy 0
M M 0 FBy (l x) 0
l/2
FBy
从而得
FS
1 4
P,
M 1 P(2l x) 4
FS
M0
M l−x FBy
梁的剪力和弯矩
依据梁内力的符号规定，无论取左端 梁，还是右端梁，计算所得梁的内力 是相同的
a a aa
Example-5
弯矩方程为
M
M A FAy x (2a x)FCy
1 2
qx
2
(
x
2a)
FCy
(4a x)FEy
0 xa
aaaa
2a x 3a 2a x 3a 3a x 4a
1 2
(2a x)F q(x a)2
1
1 2
F
F(2a x) (x 2a)
2
1