解:
A
D
B
AC 2 AD AB 2 2 6 16,
BC 2 BD AB 6 2 6 48, BC 48 4 3 cm.
答:CD,AC,BC的边长分别为 2 3cm,4cm,4 3cm
直角三角形中的成比例线段
书 P137
B
2 所以：AC AB DA
A
D
CD DB CB CDB 2 同理，得： ACB CB AB DB ∽ AC CB AB
ACD ∽
AC CD AD CBD CD 2 BD AD CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
RtCDB DFCB
2 B

B
CEF ∽ ECF BCA
1 B
CBA
直角三角形中的成比例线段
书 P138
没问题吧！
T2 T3
参考答案： 2.证明： ACB Rt CA 2 AD AB AC AD CDAB AC BC CD AB BC CD CA CD CB AD ACB 3.不能。只能证明 CDB ∽ 。
参考答案：
T1
1. （1）CD=6cm, AC=3 13 cm.
144 60 （2）BD= cm, CD = cm. 13 13 25 15 （3）AB= cm, AC= cm. 4 4
（4）CD=
你都做对 了吗？
3 cm,BC= 2 3cm.
你都弄懂了吗？ (1)在Rt ABC 中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段 AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条 可 求第三条. (3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
大家先回忆一下：
C =90 ,有_____________________. 在Rt ABC中，
AC BC AB
2 2
2
(1)一锐角相等
(2)任意两边对应 成比例.
直角三角形中的成比例线段
如图， ABC中，C 90, CDAB. C 由母子相似定理，得 ADC ∽ ACB AC CD DA 推出：AB BC CA
直角三角形中的成比例线段
由复习得：
BC BD AB 2 AC AD AB 2 CD AD DB
2
C
A
D
B
用文字如何叙述？
直角三角形中的成比例线段
直角三角形中,斜边上的高线是两条
直角边在斜边上的射影的比例中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上 的射影和斜边的比例中项.
这就是射影定理
初中数学北师大版
直角三角形射影定理
教 学 目 标
复 习
新 课
例 题
练 习
小 结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握 射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理 在证题和实际计算中有较多的 应用。 例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。

例2. 如图,在 ABC 中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF ∽
CBA.
C
F
E CDAB 2 CD CE CA D DEAC A CDAB 2 CD CF CB DFBC CE CA CF CB CE CF
C AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
CD是BD,AD的比例中项。
A D B
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？
这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影： （1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN B 上的影子应是什么？ （2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’ 定义： 过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， A 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在 l A’ 直线l上的正射影，简称射影。
证法一：

B
CB CA ECF BCA
CEF
∽
CBA.
例2. 如图,在 ABC 中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF ∽
CBA.
1
C
F
证法二：
RtCDF中，CD为外接圆的直径 RtCDE中，CD为外接圆的直径

E
A
2
D
四边形CEDF为圆内接四边形 1 2
•直角三角形斜边上的高线分成的两直角三角形 与原三角形相似（母子相似定理） •（由面积得） 两直角边积等于斜边上的高与斜边的积 • 射影定理
直角三角形中的成比例线段
这节课的知识， 你都听懂了吗？
直角三角形中的成比例线段
不要忘了
哦！！
精品课件！
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.
A
A’ N B
B’
直角三角形中的成比例线段
各种线段在直线上的射影的情况： A B A l A’
A B’
B l
A’
B’
A’
B B’ l
如图,CD是 Rt ABC 的斜边AB的高线
这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影,
A
C
D
B
BD是直,且必须
有斜边上的高
这里犯 迷糊， 可不行！
例1 如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD 2 AD DB 2 6 12, CD 12 2 3 cm;
AC 16 4cm;
ACB 90，则能推出 若已知 ABC是直角三角形。
CDAB
。
直角三角形中的成比例线段
•运用射影定理时，注意前提条件 •求边注意联系方程与勾股定理 •如图中共有6条线段，已知任意2条， C 求其余线段。
A
D
B
•直角三角形两锐角互余 •勾股定理 •直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 •直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半 及其逆定理。
直角三角形中的成比例线段
具体题目运用：
AC BC CD AB

BC BD AB 2
2

C
AC AD AB CD 2 AD DB
A
D
B
根据应用选取相应的乘积式。
C
利用射影定理证明勾股定理: A
2 2
D
2
B
AC BC AD AB BD AB AB
例2. 如图,在 ABC 中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF ∽
CBA.
C
F
E
分析:欲证 CEF ∽ CBA. A D
B
已具备条件
ACB ECF公共角

要么找角,
CEF B或 CFE A


要么找边.
CE CF CB CA