2
又∵CD⊥AB，∴BC2=BD·AB，
即( 1m)2=BD·m，∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2，
4 4 16
得CD= 3 m.因此，BD的长是1 m，CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么？ 提示：应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD，得到∠ADC＝90°，这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比，求出最大角是直角，也就确 立了△ABC是直角三角形，即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4， 以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_______.
2.如图，在△ABC中，AB=m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3， CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 BC2 ＝352 . 42 由射影定理，得BC2＝BD·AB， ∴BD＝BC2 42 16 .
AB 5 5
答案：16
5
2.设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3， 得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.∵∠BAC＋∠ABC＋ ∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. ∵AB=m，∴BC1= m，
1.勾股定理能证明射影定理吗？ 提示：能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2， AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2， ∴2CD2=2AD·DB， 即CD2=AD·BD.
AC2=AB2-BC2 =AD2+2AD·DB+DB2-CD2-DB2 =AD2+AD·DB=AD·AB. 同理BC2=BD·AB.
应用射影定理解决相关几何证明
应用射影定理证明几何题的思路 (1)从已知条件入手，当已知存在直角三角形时，可以考虑应 用射影定理得到比例中项，再寻求证明结论的过渡条件. (2)从证明的结论着眼，当证明的结论是等积式或比例式时， 观察是否存在涉及的线段是某个直角三角形的边.
【典例训练】 1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， 点E是AC上一点，CF⊥BE于点F.求证：△BFD∽△BAE.
AB 5 5
答案：9
16
5
5
4.如图所示，⊙O上一点C在直径AB上的射影为点D，CD＝4，BD
＝8，则⊙O的半径r等于________.
【解析】由直角三角形的射影定理，得
CD2＝AD·DB，∴ADCD＝2 ＝42 ＝2，
DB 8
∴r＝ 8 ＝25.
2
答案：5
5.已知：CD是Rt△ABC斜边AB上的高，若AD∶BD＝9∶16，则
∴BF·BE＝BD·BA，∴BF BD .
BA BE
又∵∠FBD＝∠ABE，
∴△BFD∽△BAE.
2.(1)方法一：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴S△ABC= 1AB·AC=1 AD·BC，
2
2
∴AB·AC＝AD·BC.
方法二：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，AD2＝BD·CD. ∴AB2·AC2＝BD·BC·CD·BC， 即AB2·AC2＝BD·CD·BC2， ∴AB2·AC2＝AD2·BC2，∴AB·AC＝AD·BC. (2)在Rt△ADB中，DE⊥AB，∴BD2=BE·AB. 同理CD2=CF·AC， ∴BD2·CD2=BE·AB·CF·AC.
又在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴AD2=BD·CD， ∴AD4=BD2·CD2=BE·AB·CF·AC =BE·CF·AB·AC 又由(1)知AB·AC=AD·BC， ∴AD4=BE·CF·AD·BC， ∴AD3=BC·BE·CF.
【想一想】第2题是如何利用射影定理证明等积式或比例式的？ 提示：(1)由直角三角形的射影定理可以得到等积式，证明过 程中需要根据题目恰当地进行选择. (2)同一条边所在的三角形不同，根据射影定理得到的等积式 也不相同. (3)在解决题2时，将得到的等积式进行了相乘、开方 等变形，最终目的是向题目结论过渡.
2.已知：CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD＝2，DB＝8， 则CD的长为______，AC的长为______，BC的长为_______. 【解析】在Rt△ABC中，由射影定理，得 CD2＝AD·DB＝2×8＝16，∴CD＝4. AC2＝AD·AB＝2×(2＋8)＝20，∴AC2 ＝5 . BC2＝BD·AB＝8×(2＋8)＝80，∴BC4＝5 . 答案：4 2 5 4 5
AC∶BC＝_________.
【解析】由射影定理，得
AC2＝AD·AB，BC2＝BD
AB AB
∴AD
BD
.9 ，
16
答案：3∶4
AC 3 BC 4
1.对点和线段的射影的理解 点的射影由点到直线的垂线段的垂足确定；线段的射影由线段 的两个端点的射影确定；“线段的射影”简记为：平行长不变， 倾斜长缩短，垂直成一点. 2.应用射影定理的两个条件 应用射影定理有两个条件：一是直角三角形，二是直角三角形 斜边上的高.有时需要作出斜边上的高，才能应用射影定理.
3.射影定理的逆定理及其证明思路 射影定理的逆定理也是成立的.证明这个命题，可从以下两方 面来考虑： (1)“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形” 相联系； (2)我们往往将等式CD2＝AD·BD变形为 AD CD，这个比例式
CD BD
启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形”.
3.已知：CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC＝3，BC＝4，则AD的
长为_______，BD的长为_______.
【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 B＝C2 =325.42
由射影定理，得AC2＝AD·AB，
∴AD＝AC2 32 9；
AB 5 5
同理BD＝BC2 42 16 .
应用射影定理解决几何计算问题
应用射影定理的技法 (1)已知三角形是直角三角形，或者有直角、垂线等，这是在 直角三角形中应用射影定理必需的条件. (2)遇已知圆有直径时，直径所对圆周角是直角，因此圆中有 关计算问题也常常考虑应用射影定理.
(3)运用射影定理进行直角三角形中的相关计算，常常和直角 三角形的其他性质相结合，如勾股定理、三角函数关系、面积 公式等.
直角三角形的射影定理
1.射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引_垂__线___的垂足. (2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的 _正__射__影__间__的线段. (3)点和线段的_正__射__影__，简称为射影.
2.射影定理 (1)直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的_比__例__中__项__. 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_比__例__中__项___. (2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于点D.则 CD2＝__A_D_·__B_D_， BC2＝_B_D_·__A_B__， AC2＝_A_D_·__A_B__.
2.在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，DF⊥AC于点F， DE⊥AB于点E.求证： (1)AB·AC=AD·BC； (2)AD3=BC·BE·CF.
【证明】1.∵∠ACB＝90°，CF⊥BE，
∴在Rt△BCE中，由射影定理，得BC2＝BF·BE.
在Rt△ABC中，由射影定理，得BC2＝BD·BA.