抽象函数常见题型及解法综述
是[- 1, 1]; ③在其定义域上递减; ④ f( x) +f( y) = f( xy) 对于
任意实数 x, y 都成立.解不等式 f-1( x)·f-1( 1 ) ≤ 1 . 1- x 2
联想
因 为 loga( x·y) =logax+logay, 而 log 1
2
1 2
=1, y=
log 1 x 在其定义域内为减函数, 所以猜测它的模型函数
#!f -1( x+ 1 ) ≤f -1( 1) , #x+ 1 ≥1,
% 1- x
% 1- x
%%- 1≤x+ 1 ≤1,
$
1- x
%%- 1≤x+ 1 ≤1,
∴(
1- x
∴x=0.
%- 1≤x≤1,
%- 1≤x≤1,
&%%- 1≤
1 1- x
≤1.
&%%- 1≤
1 1- x
≤1.
故 原 不 等 式 的 解 集 为 {0}.
二 、寻 觅 特 殊 函 数 的 模 型
1.指 数 函 数 模 型
例 6 设 f( x) 定义于实数集 R 上, 当 x>0 时, f( x) >1,
且对于任意实数 x, y, 有 f( x+y) = f( x)·f( y) , 同时 f( 1) =2,
解不等式 f( 3x- x2) >4.
联 想 由于 ax+y=a·x ay( a>0, a≠1) , 于是猜测它的模型
x- 1
x- 1
x- 1
①- ②+③并化简得 f( x) = x3- x2- 1 . 2x( x- 1)
小 结 把 x 和 x- 1 分 别 看 作 两 个 变 量 , 怎 样 实 现 由 x
两个变量向一个变量的转化是解本题的关键.通常情况
下, 给某些变量适当赋值, 使之在关系中“消失”, 进而只
保留一个变量, 是实现这种转化的重要策略.
解 在 f( x+y) = f( x)·f( y) 中取 x=y=0, 得 f( 0) = f 2( 0) ,
若 f( 0) =0, 令 x>0, y=0, 则 f( x) =0, 与 f( x) >1 矛盾.
∴f( 0) ≠0, 即有 f( 0) =1.
当 x>0 时, f( x) >1>0 ; 当 x<0 时, - x>0, f( - x) >1>0.
解 由 已 知 条 件②、③知 , f( x) 的 反 函 数 存 在 , 并 在
定义域[- 1, 1]上递减, 且 f-1( 1) = 1 . 2
设 y1= f -1( x1) , y2= f -1( x2) , 则有 x1= f( y1) , x2= f( y2) . ∴x1+x2= f( y1) + f( y2) = f( y1y2) , 即有 y1y2= f-1( x1+x2) . ∴f - 1( x1)·f - 1( x2) = f - 1( x1+x2) . 于是, 原不等式等价于
( 2)
设
0< x1< x2,
∴0< x1 x2
<1.
∴f( x1) = f(
x1 x2
·x2)
=
f(
x1 x2
)·f( x2) .
∵当 0<x<1 时, 0< f( x) <1,
∴0< f(
x1 x2
) <1.∴f( x1) < f( x2) .
故函数 f( x) 在( 0, +∞) 上是增函数.
解 由 f( x2) 的 定 义 域 是[1, 2], 即 1≤x≤2, 所 以 1≤
x2≤4, 故函数 f( x) 的定义域是[1, 4].
小结 已知函数 f( φ( x) ) 的 定 义 域 是 A, 求 f( x) 的 定
义域问题, 相当于已知 f( φ( x) ) 中 x 的 取 值 范 围 为 A, 据
2
思 路 分 析 由 题 设 可 知 f( x) 是 幂 函 数 y=x 3 的 抽 象
函数, 从而可猜想 f( x) 是偶函数, 且在( 0, +∞) 上是增函数.
解 ( 1) 令 y=- 1, 则 f( - x) = f( x)·f( - 1) .
∵f( - 1) =1, ∴f( - x) = f( x) , 即 f( x) 为偶函数.
又 f( 1) =2, ∴f( 3x- x2) > f( 1)·f( 1) = f( 1+1) = f( 2) .
由 f( x) 的单调递增性质可得
3x- x2>2, 解得 1<x<2.
2.对 数 函 数 模; ②函 数 的 值 域 2
f( 9) 的值.
解 取 x=2, y=3, 得 f( 6) = f( 2) + f( 3) .
∵f( 2) =1, f( 6) = 1 , ∴f( 3) =- 4 .
5
5
又取 x=y=3, 得 f( 9) = f( 3) + f( 3) =- 8 . 5
小结 通过观察, 找出已知与未知的联系, 巧妙地取
的, 高考对抽象函数这一考点主要考查的是函数的概念
和 知 识 的 内 涵 及 外 延 的 掌 握 情 况 、逻 辑 推 理 能 力 、抽 象
思维能力和数学后继学习的潜能.为了扩大读者的视野,
现就抽象函数常见题型归纳如下.
一 、函 数 的 基 本 概 念
1.抽 象 函 数 的 定 义 域 问 题
例 1 若函数 f( x2) 的定义域是[1, 2], 求 f( x) 的定义域.
函数为 f( x) =ax( a>0, a≠1) .由 f( 1) =2, 还可以猜想 f( x) =2x.
思路分析 由 f( 2) = f( 1+1) = f( 1)·f( 1) =4, 需求解的
不等式可化为 f( 3x- x2) > f( 2) .这样, 证明函数 f( x) 的单调
性成了解题的突破口.
解 已知 f( x) + f( x- 1 ) =1+x.
①
x
若以 x- 1 代换①中 x, 得 x
名言佳句
星垂平野阔, 月涌大江流。— ——杜甫
学习辅导 9
■ 数学 ■
f(
x- 1 x
) +f( -
1 x- 1
)
=
2x- x
1
.
②
再以- 1 代换①中 x, 得 f( - 1 ) + f( x) = x- 2 . ③
等式, 求出 x 的范围.例 2 和例 1 在形式上恰好相反.
2.抽 象 函 数 的 求 值 问 题
例 3 已知 定 义 域 为 R+的 函 数 f( x) , 同 时 满 足 下 列
条件: ① f( 2) =1, f( 6) = 1 ; ② f( x·y) = f( x) + f( y) .求 f( 3) , 5
( 3) ∵f( 27) =9,
又 f( 3×9) = f( 3)·f( 9) = f( 3)·f( 3)·f( 3) = f 3( 3) ,
∴9=f
3(
3)
,
即
f(
3)
=
3
)
9
.
∵f(
a+1)
≤
3
)
9
, ∴f( a+1) ≤ f( 3) .
10 学习辅导
飘飘何所似, 天地一沙鸥。— ——杜甫
2
(3- x)≤2, ∴( 1 2
)2≤3- x≤(
1 2
)-1, 即 1≤x≤ 11 4
.
∴函数 f [log 1
2
( 3- x) ]的定义域是[1,
11 4
].
小 结 这 类 问 题 的 一 般 形 式 是 : 已 知 函 数 f( x) 的 定
义 域 是 A, 求 函 数 f( φ( x) ) 的 定 义 域.正 确 理 解 函 数 符 号
由于 f( x+y) = f( x)·f( y) 对任意 x, y"R 均成立, 因此,
对任意 x"R, 有
f( x) = f( x + x ) = f( x )·f( x ) = f 2( x ) ≥0.
22
2
2
2
下面证明对于任意 x"R, 恒有 f( x) ≠0.
设存在 x0"R, 使得 f( x0) =0, 则 f( 0) = f( x0- x0) = f( x0)·f( - x0) =0. 这与 f( 0) ≠0 矛盾, 因此, 对任意 x"R, f( x) ≠0.
f( x2) , 求函数 f( x) 的值域. 解 令 x=y= 0, 得 f( 0) = f2( 0) , 即有 f( 0) =0 或 f( 0) =1.
若 f( 0) =0, 则 f( x) = f( x+0) = f( x)·f( 0) =0, 对任意 x"R
均 成 立 , 这 与 存 在 实 数 x1≠x2, 使 得 f( x1) ≠f( x2) 成 立 矛 盾.故 f( 0) ≠0, 即 f( 0) =1.
x=2, y=3, 这 样 便 把 已 知 条 件 f( 2) =1, f( 6) = 1 与 欲 求 的 5
f( 3) 联系起来了.这是解此类问题的常用技巧.
3.抽 象 函 数 的 值 域 问 题
例 4 设 函 数 f( x) 定 义 于 实 数 集 上 , 对 于 任 意 实 数
x, y, f( x+y) = f( x)·f( y) 总成立, 且存在 x1≠x2, 使得 f( x1) ≠
2
为 f( x) =log 1 x, 且 f-1( x) 的模型函数为 f-1( x) =(
2
1 2
) x.
思 路 分 析 由 条 件②、③知 , f( x) 的 反 函 数 存 在 , 且
在定义域[- 1, 1]上递减, 由①知 f-1( 1) = 1 .剩下的只需由 2