天津南开中学2016届高三第五次月考
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题纸上。
答题时，务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8题，共40分。
一、选择题：
（1）i 是虚数单位，复数
7i
34i
+=- （A ）1i -（B ）1i -+ （C ）1731i 2525+（D ）1725
i 77
-+
（2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪
⎨⎪⎩
则目标函数3z x y =+的最小值为
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
（3）设2
:320p x x -+>，21
:02
x q x ->-，则p 是q
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（4）函数()()
212
log 4f x x =-的单调递减区间是
（A ）()0,+¥（B ）(),0-¥（C ）()2,+¥D ）(),(2,2,)¥--+?
（5）阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为
（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16
（6）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 若113,0,4m m m S S S -+=-==，则m =
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8
（7）在△ABC 中，90ABC ∠=︒
，AB =
，2BC =，点P 为△ABC 内一点，若
（第5题图）
90BPC ∠=︒，1PB =，则PA =
（A
）4（B
（C
（D ）1 （8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?o ，点,E F 分别在边,BC DC 上，
BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF
?u u u r u u u r
，2
3
CE CF
?-u u u r u u u r ，则l m ? （A ）1
6（B ）23（C ）56（D ）712
2015~2016年度南开中学高三第五次月考
数学
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12题，共110分。
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （9）如图，向边长为1的正方形内随机的投点，
所投的点落在由2
y x =和1
2
y x =围成的封闭图形的概率为___________．
（10
）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面
积中，最大的是___________．
（11）已知双曲线22
221x y a b
-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l :210y x =+，
且双曲线的一个焦点在抛物线2
20y x =的准线上，则双曲线的方程为___________．
（12）在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin r q =和直线sin a r q =相交于,A B 两点.
若AOB D 是等边三角形，则a 的值为___________．
（13）如图,弦AB 与CD 相交于O e 内一点E ,过E 作
BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知PD
＝2DA ＝2,则PE ＝___________．
（14）已知函数()2
54,0,
22,0,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩
若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数
a 的取值范围为___________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）
设函数(
)2π2sin 4f x x x ⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭. (I)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；
(II)当π5π,1212x ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
时，求()f x 的取值范围．
（16）（本小题满分13分）
现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为
3
4
，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为
2
3
，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击．
(I)求该射手恰好命中一次的概率；
(II)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .
（17）（本小题满分13分）
如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，H 为BC 中点，且FH ⊥平面ABCD ，EF AB P ，90BFC ∠=︒，2AB =，1EF =．
（Ⅰ）求证：FH P 平面EDB ； （Ⅱ）求二面角B DE C --的大小； （Ⅲ）求四面体B DEF -的体积．
（18）（本小题满分13分）
椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P
的距离为
．．．．O 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且线段AB 被直线OP 平分.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求△APB 面积取最大值时直线l 的方程.
（19）（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+，其中20a ≠.
（Ⅰ）求证：{}n a 是首项为1的等比数列；
（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和为22n T n n =+，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和；
（Ⅲ）若21a >-，求证：()12
n n n
S a a ≤+，并给出等号成立的条件．
（20）（本小题满分14分）
已知,a b 是实数，函数,)(,)(2
3
bx x x g ax x x f +=+=)(x f '和)(x g '是
)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I
上单调性一致.
（Ⅰ）讨论()f x 的极值； （Ⅱ）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间[2,)-+∞上单调性一致,求实数b 的取
值范围；
（Ⅲ）设,0<a 且b a
≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性
一致，求a b -的最大值.。