范围是___________．
17．设函数
f
(x)
x2
1，对任意
x
3 2
,
，
f
x m
4m2
f
(x)
f
(x 1) 4 f
(m)
恒成立，则实数 m 的取值范围是
.
三、解答题（共 32 分）
18．（本小题满分 8 分）
在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ．已知 a 2 2,b 5,c 13 ．
(x
2 x2
)5
的展开式中，
x2
的系数是_________．
12． y log1 3 2x x2 的单调增区间是_________．
3
13. 已知集合 A
xR
x3 x4 9
，
B
x R
x
4t
1 6,t t
0, ，
则集合 A B
．
14．直线 y 1与曲线 y x2 x a 有四个交点，则 a 的取值范围是
x
的方程
2[f(x)]2＋2tf(x)＋t－12＝0
有
5
个不同的
实数根，则实数 t 的取值范围是 ( )
A．12－1e，12
B．1e－12，12
C．12－1e，32
D．1e－12，32
二、填空题（每题 4 分，共 32 分）
10． i 是虚数单位，复数 8 i _________． 2i
11．在
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天津市南开中学 2021 届高三数学统练 2
一、选择题（每题 4 分，共 36 分）
1．设全集U {3,2, 1,0,1, 2,3} ，集合 A {1,0,1, 2}, B {3,0, 2,3} ，则
A∩ U B （ ）
A． {3, 3}
B．{0, 2}
C．{1,1} D．{3, 2, 1,1,3}
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x2 4x,
7．已知函数
f
(x)
4 x
x2,
是（ ）
x
0
，若
f (2 a2)
f (a), 则实数 a 的取值范围
x0
A．(, 1) (2, ) B．(1, 2) C．(2,1) D．(, 2) (1, )
8．已知函数
f
x3, x (x)
0,
x 1
（Ⅱ）设当 x 0 时， f x x ，求 a 的取值范围．
ax 1
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天津市南开中学 2021 届高三数学统练 2 参考答案
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
C
C
C
D
D
A
C
D
A
二、填空题：
10、 3 2i
11、10
12、 1,1
13、x 2 x 5
x （Ⅱ）当 k 3时，求证：对任意的 x1, x2 [1, ) ，且 x1 x2 ，有
f x1 f x2 f x1 f x2 ．
2
x1 x2
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20．（本小题满分 12 分）
设函数 f x 1 ex ． （Ⅰ）证明：当 x＞-1 时， f x x ；
4．设集合 A=x || x a | 1, x R, B x || x b | 2, x R. 若 A B,则实数 a, b 必满
足（ ）
A．| a b | 3
B．| a b | 3
C．| a b | 3
D．| a b | 3
5．设
a
30.7
,
b
(
1)0.8 3
,
c
log0.7
0.8
14、(1, 5 ) 4
三、解答题：
15、 2
16、 (, 9] 2
17、 ,
3
2
3 2
,
18. 满分 8 分．
（Ⅰ）解：在△ABC 中，由余弦定理及 a 2 2,b 5, c 13 ，有
a2 b2 c2
cos C
2 ．又因为 C (0, π) ，所以 C π ．
2ab
2
（Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）求 sin A 的值； （Ⅲ）求 sin(2A π) 的值．
4
19．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) x3 k ln x(k R) ， f (x) 为 f (x) 的导函数．
（Ⅰ）当 k 6 时，
（i）求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （ii）求函数 g(x) f (x) f (x) 9 的单调区间和极值；
13
13
所以， sin(2A π) sin 2Acos π cos 2Asin π 12 2 5 2 17 2 ．
4
（Ⅱ）解：在△ABC 中，由正弦定理及 C π , a 2 2, c 13 ，可得 4
sin A a sin C 2 13 ．
c
13
（Ⅲ）解：由 a c 及 sin A 2 13 ，可得 cos A 1 sin2 A 3 13 ，
13
13
进而 sin 2A 2sin Acos A 12 , cos 2A 2cos2 A 1 5 ．
2. 设 a,b R ，则“ a b ”是“ a a b b ”的（ ）
A．充要不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充要也不必要条件
3. 不等式 x2 x 6＞0 的解集为 （ x 1
A．x x＜ 2,或x＞3
）
B．x x＜ 2，或1＜x＜3
C． x 2＜x＜1，或x＞3
D．x 2＜x＜1，或1＜x＜3
若函数 g(x)
f
(x)
kx2
2x
(k R) 恰有 4
个零点，
x, x 0.
则 k 的取值范围是（ ） A． (, 1) (2 2, )
2
B． (, 1) (0, 2 2) 2
C． (,0) (0, 2 2)
D． (,0) (2 2, )
9.
已知函数
x2－1，x<1， f(x)＝lnxx，x>1， 若关于
.
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15．若关于
x
的函数
f
(x)
tx2
2x t2 x2 t
sin x
(t
0)
的最大值为
M
，最小值为
N
，
且 M N 4 ，则实数 t 的值为
．
16．已知 αR，函数 f (x) | x 4 a | a 在区间[1，4]上的最大值是 5，则 a 的取值 x
，则
a,
b,
c
的大小关系为
(
)
A． a b c
B． b a c
C． b c a
D． c a b
6．设函数
f
(x)
ln(1 |
x
|)
1
1 x2
,则使得
f
(x)
f
(2x 1) 成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的
x
的取值范围是
（）
A．
1 3
,1
B．
,
1 3
1,
C．
1 3
,
1 3
D．
,
1 3
1 3
,