2020届天津南开中学高三第五次月考数学（文）试题一、单选题1．已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,5}，集合B={2,3,5}，则(∁U B)∩A=（）A．{2}B．{2,3}C．{1}D．{1,4}【答案】C【解析】算出C U B={1,4}后可得(C U B)∩A={1}.【详解】C U B={1,4}，所以(C U B)∩A={1}，选C.【点睛】本题考查集合的交补运算，属于基础题.2．实数x，y满足不等式组{x+y−2≥0x−y−2≤0y≥1，则目标函数z=x+2y的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解目标函数的最小值，得到答案.【详解】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数z=x+2y，可化为直线y=−12x+z2，当直线经过点B时，此时直线y=−12x+z2在y轴上的截距最小，目标函数取得最小值，又由{y=1x+y−2=0，解得B(1,1)，所以目标函数的最小值为z min=1+2×1=3，故选B.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．3．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )A．1 B．2 C．4 D．7【答案】C【解析】试题分析：第一次循环；第二次循环；第三次循环；结束循环，输出选C.【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4．若a=(12)13，b=log132，c=log123，则a，b，c的大小关系是（）A．b<a<c B．b<c<a C．a<b<c D．c<b<a【答案】D【解析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，分别求得a,b,c的取值范围，即可得到答案. 【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得a =(12)13∈(0,1)，根据对数函数的图象与性质，可得b =log 132>log 133=−1，c =log 123<log 122=−1，所以c <b <a ，故选D. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，合理得到实数a,b,c 的取值范围是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5．设x R ∈，则“1x <”是“20x x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由20x x -<，解得(-∞，由()(,1-∞⊆-∞，可知“1x <”是“20x x -<”的充分不必要条件，选A.6．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1(−c ，0)，F 2(c ，0)，若直线y =2x 与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．√5 B ．2 C ．√2+1 D ．√2−1【答案】C【解析】联立直线的方程和双曲线的方程，解得交点的横坐标，得到a,b,c 的方程，结合c 2=a 2+b 2和e =ca ，化简整理，即可得到双曲线的离心率. 【详解】由题意，把直线y =2x 代入双曲线的方程x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)， 可得x =，所以c =，又由c 2=a 2+b 2，整理得c 4−6a 2c 2+a 2=0，又由e =ca ，可得e 4−6e 2+1=0，解得e 2=3+2√2或e 2=3−2√2（舍去）， 即有e =1+√2，故选C. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c 的值，代入公式e =ca；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式，转化为a,c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．7．函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，若其图象向左平移π3个单位后得到的函数为偶函数，则函数f (x )的图象（ ） A ．关于点(π12，0)对称 B ．关于直线x =π12对称 C ．关于点(π6，0)对称D ．关于直线x =π6对称【答案】A【解析】根据函数f (x )的最小正周期是π，求得w =2，即f (x )=sin (2x +φ)，再根据三角函数的图象变换求得g(x)=sin(2x +2π3+φ)，利用三角函数的对称性，求得φ=−π6，得到函数f (x )=sin (2x −π6)，再利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数f (x )=sin (ωx +φ)的最小正周期是π，即2πw=π，解得w =2，所以f (x )=sin (2x +φ)，将函数f (x )的向左平移π3个单位后得到函数g(x)=sin[2(x +π3)+φ]=sin(2x +2π3+φ)因为g (x )为偶函数，所以g(0)=sin(2π3+φ)=±1，即2π3+φ=π2+kπ,k ∈Z ， 解得φ=−π6+kπ,k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ=−π6， 所以f (x )=sin (2x −π6)，令2x −π6=kπ,k ∈Z ，解得x =π12+kπ2,k ∈Z ，令k =0，则x =π12，所以函数f (x )关于(π12，0)对称，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．在ΔABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =120°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点，若AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则实数λ=（ ） A ．619B ．738C ．514D ．37【答案】A【解析】在ΔABC 中，由余弦定理和面积公式、勾股定理，求得|BH |=√19和|CH |=√19，得到BH⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =719BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用向量的运算和平面向量的基本定理，即可求解. 【详解】在ΔABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =120°，由余弦定理可得BC 2=22+32−2×2×3cos1200=19，即BC =√19， 又由ΔABC 的面积为S =12|AB ||AC |sin1200=12×2×3×√32=3√32，所以12|BC |⋅|AH |=12×√19⋅|AH |=3√32，解得|AH |=√3√19，在RtΔABH 中，由勾股定理得|BH |=√|AB|2−|BH |2=√4−2719=√19，则|CH |=√19，所以BH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =719BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， 则AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12AH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=12(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +719BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=12[AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +719(AC⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )]=619AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +738AC⃑⃑⃑⃑⃑ ， 又由AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以λ=619，故选A.【点睛】本题主要考查了三角形余弦定理和面积公式的应用，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用余弦定理和面积公式，求得BH,CH 的值，再利用平面向量的运算和平面向量的基本定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题9．若(1+ai )2（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =_________. 【答案】±1【解析】利用复数的运算，求得(1+ai )2=1−a 2+2ai ，再根据复数为纯虚数，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，复数(1+ai )2=1+2ai +(ai)2=1−a 2+2ai ，又由复数为纯虚数，则1−a2=0，即a2=1，解得a=±1.【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数的分类的应用，其中解答中熟记复数的运算法则和复数的分类是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．函数f(x)=−12x2+lnx在[1e,e]上的最大值是________.【答案】−12【解析】利用导数求得函数的单调性，得到当x=1时，函数取得最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数f(x)=−12x2+lnx，可得函数的定义域为(0,+∞)，又由f′(x)=−x+1x =1−x2x，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x=1时，函数取得最大值，最大值为f(1)=−12.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及利用导数求解函数的最值问题，其中解答中熟练应用导数得到函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．若一个正四面体的棱长为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为_________.【答案】3π2【解析】将四面体补成一个正方体，通过正方体的对角线与球的半径的关系，得到球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，将正四面体补形成一个正方体，则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同一个球，因为正四面体的棱长为1，所以正方体的棱长为√22，设球的半径为R，因为球的直径是正方体的对角线，即2R=(√22)(√22)(√22=√62，解得R=√64，所以球的表面积为S=4πR2=4π×(√64)2=3π2.【点睛】本题主要考查了有关求得组合体的结构特征，以及球的表面积的计算，其中巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长，得到球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.12．已知圆心在x轴正半轴上的圆被y轴截得的弦长为2√3，且与抛物线x2=8y的准线相切，则圆的方程是___________.【答案】(x−1)2+y2=4【解析】由圆心在x轴的正半轴上，可设圆M的标准方程为(x−a)2+y2=r2(a>0)，由弦长公式，可得r2=a2+(√3)2，再由圆M与抛物线的准线相切，求得r=2，进而得到a=1，即可求解圆的方程. 【详解】由题意，因为圆心在x轴的正半轴上，可设圆M的标准方程为(x−a)2+y2=r2(a>0)，如图所示，因为圆M被y轴截得的弦长为2√3，即|AB|=2√3，在直角ΔAOM中，由勾股定理可得|AM|2=|OM|2+|OA|2，即r2=a2+(√3)2，由抛物线的方程x2=8y，可得其准线方程为y=−2又由圆M与直线y=−2相切，所以r=2，将r=2代入r2=a2+(√3)2，可得22=a2+(√3)2，解得a=1，所以所求圆的方程为(x−1)2+y2=4.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中数列应用圆的弦长公式，以及直线与圆的位置关系，列出方程求得a,r 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13．若正数a ，b 满足4a +3b −1=0，则12a+b+1a+b的最小值为_________.【答案】3+2√2【解析】设{m =2a +b n =a +b，解得a =m −n,b =2n −m ，又由4a +3b −1=0，得m +2n =1，再利用基本不等式，即可求解其最小值. 【详解】由题意，设{m =2a +b n =a +b，解得a =m −n,b =2n −m 其中m >0,n >0，因为4a +3b −1=0，所以4(m −n)+3(2n −m)−1=0，整理得m +2n =1， 又由12a+b+1a+b=1m+1n=(1m+1n)(m +2n)=3+2n m+m n≥3+2√2n m⋅m n=3+2√2，当且仅当2n m=mn ，即m =√2n 等号成立，所以12a+b +1a+b 的最小值为3+2√2. 【点睛】本题主要考查了换元法的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理利用换元法，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14．已知函数f (x )={√4−x 2，x ∈(−2,2]1−|x −3|，x ∈(2,4]满足f (x −3)=f (x +3)，若在区间[−4,4]内关于x 的方程3f (x )=k (x −5)恰有4个不同的实数解，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】(−2√217，−38)∪{0}【解析】由题意，把在区间[−4,4]内关于x 的方程3f (x )=k (x −5)恰有4个不同的实数解，转化为函数y =f (x )与y =k3(x −5)的图象在区间[−4,4]内有4个不同的交点，作出函数的图象，结合图象，分类讨论，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数f (x )满足f (x −3)=f (x +3)，即f (x )=f (x +6)，即函数f (x )是以6为周期的周期函数， 又由在区间[−4,4]内关于x 的方程3f (x )=k (x −5)恰有4个不同的实数解， 即在区间[−4,4]内关于x 的方程f (x )=k3(x −5)恰有4个不同的实数解，即函数y=f(x)与y=k3(x−5)的图象在区间[−4,4]内有4个不同的交点，又由函数f(x)={√4−x2，x∈(−2,2]1−|x−3|，x∈(2,4]，作出函数的图象，如图所示，由直线y=k3(x−5)，可知直线恒过点P(5,0)，当k=0时，此时直线y=0与函数y=f(x)的图象恰有4个交点，当直线过点A(−3,3)时，此时k3=1−0−3−5=−18，即k=−38，此时函数y=f(x)与直线y=k3(x−5)有5个同的交点，当直线y=k3(x−5)与半圆y=√4−x2相切时，此时圆心到直线kx−3y−5k=0的距离等于圆的半径，即22=2，解得k=−2√217或k=2√217（舍去），此时函数y=f(x)与直线y=k3(x−5)有3个同的交点，此时函数y=f(x)与直线y=k3(x−5)恰有4个同的交点，则−2√217<k<−38综上可知，实数k的取值范围是(−2√217，−38)∪{0}.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数的解析式和周期作出函数f(x)的图象，把方程的解答的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题.三、解答题15．某教研部门对本地区甲、乙、丙三所学校高三年级进行教学质量抽样调查，甲、乙、丙三所学校高三年级班级数量（单位：个）如下表所示。