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函数与导数大题训练试题+答案

函数与导数大题训练1已知函数.23)32ln()(2x x x f -+= (I )求f (x )在[0,1]上的极值;(II )若对任意0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立,求实数a 的取值范围;(III )若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b 的取值范围.2. 设.2)(ln )()(2)(--==--=epqe e g x x f x f x q px x g ,且,其中(e 为自然对数的底数)(Ⅰ)求p 与q 的关系;(Ⅱ)若)(x g 在其定义域内为单调函数,求p 的取值范围; (Ⅲ)证明:①)1(,1)(->-≤x x x f②).2,()1(412ln 33ln 22ln 2222≥∈+--<+++n N n n n n nn Λ3.设函数a x x a x f +++-=1)(2,]1,0(∈x ,+∈R a . (1)若)(x f 在]1,0(上是增函数,求a 的取值范围; (2)求)(x f 在]1,0(上的最大值.答案1解:(I )23)13)(1(33323)(+-+-=-+='x x x x x x f , 令1310)(-==='x x x f 或得(舍去))(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当单调递增;当)(,0)(,131x f x f x <'≤<时单调递减. ……………………………………3分 ]1,0[)(613ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值 ……………………………4分(II )由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得xx a x x a 323lnln 323lnln ++<+->或, …………① ……………………5分 设332ln 323ln ln )(2x x x x x h +=+-=,xxx x x g 323ln323ln ln )(+=++=, 依题意知]31,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立,0)32(2)32(33)32(3332)(2>+=+⋅-+⋅+='x x x x x x x x g Θ, 03262)62(31323)(22>++=+⋅+='xx xx x x x h ,………………………………6分 ]31,61[)()(都在与x h x g ∴上单增,要使不等式①成立,当且仅当.51ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或 ………………………8分(III )由.0223)32ln(2)(2=-+-+⇒+-=b x x x b x x f令xx x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(22+-=+-+='-+-+=ϕϕ则,当]37,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ϕϕ>'∈上递增;当]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时x x x ϕϕ<'∈上递减 ……………………10分 而)1()37(),0()37(ϕϕϕϕ>>, ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰有两个不同实根等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+=>-+-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()37(02ln )0(b b b ϕϕϕ .37267)72ln(215ln +-+<≤+∴b …………… ……12分 2. 解:(I )由题意:,ln 2)(x x q px x g --= 又2)(--=eqpe e g 12 2 ()()011()()0 0,....... ........3q p pe qe p q e p q e e ep q e e p q e e∴--=--∴-+-=-+=+≠∴=而分(Ⅱ)由(I )知:,ln 2)(x xqpx x g --= 分恒成立或满足在只需为单调函数在要使令4..................................................................0)(0)(:),0()(,),0()(,2)(22)(2222'≤≥+∞+∞+-=+-=-+=x h x h x h x g p x px x h x px px x x p p x g ①当p=0时,h (x )=-2x'220 ()0,()0,()(0,), 0...... .. (5x)x h x g x x g x p >∴<∴=-<∴+∞∴=Q 在单调递减适合题意分②当p px p x px x h 1,2)(,02=+-=>其对称轴为图象为开口向上抛物线时∈(0,+∞)'min 11() 0,1 ()0,()0()(0,), 1................................................7h x p p p h x g x p pg x p ∴=--≥≥≥≥∴+∞∴≥只需即时在单调递增适合题意分③当p <0时,px p x px x h 1,2)(,2=+-=其对称轴为图象为开口向下抛物线时 ),0(+∞∉ 只需h (x )≤0,即p ≤0时h (x )≤0在(0,+∞)恒成立.0),0()(0)('适合题意单调递减在<∴+∞∴<∴p x g x g综上①②③可得,p ≥1或p ≤0(Ⅲ)证明:①即证)1(0)1ln(->≤-+x x x 设xxx k x x x k +-=-+=1)(,)1ln()('''(1,0)()0,() (0,)()0,()0(), ()(0)0x k x k x x k x k x x k x k x k ∴∈->∴∴∈+∞<∴∴=∴≤=时为单调递增函数时为单调递减函数为的极大值点 即x x x x ≤+∴≤-+)1ln(,0)1ln(…………………………………………11分 ②由①知,01,)1ln(>+≤+x x x 又 设1ln 0,1-≤∴>+=t t t x t 则22*2222222222222222ln 11ln 11,2, ln 1, 1, (1),2ln 2ln 3ln 1111...(11...1)2232311111111[(1)(...)][(1)...]222334(1)2311111[1(22334n n n n N n n n n n n n nn n nn n n n n n -∈≥∴≤-∴≤=-∴≤-∴+++≤-+-++-=--+++<--+++⨯⨯+=---+-Q 11...]1n n ++-+211121[1()]2214(1)n n n n n --=---=++∴结论成立…… ………14 分3.当]1,0(∈x 时,11)(2++-='x x ax f .(1)要使)(x f 在]1,0(∈x 上是增函数,11)(2++-='x x a x f 0≥在]1,0(上恒成立,即22111xx x a +=+≤在]1,0(上恒成立. 而211x+在]1,0(上的最小值为2,又+∈R a ,∴20≤<a . (2)ⅰ)20≤<a 时,)(x f 在]1,0(上是增函数,1)21()1()]([max +-==a f x f .ⅱ)2>a 时,0)(='x f ,得112-=a x ∈]1,0(. Θ当1102-<<a x 时,0)(>'x f ;当1112≤<-x a 时,0)(<'x f , ∴1)11()]([22max --=-=a a a f x f .1.已知()x f 定义在R 上的函数,对于任意的实数a ,b 都有()()()a bf b af ab f +=,且()12=f Ⅰ)求⎪⎭⎫ ⎝⎛21f 的值;(Ⅱ)求()n f -2的解析式(*∈N n )2.已知函数f (x )=ln (e x +a )(a 为常数)是实数R 上的奇函数,函数g (x )=λf(x)+sinx 是区间[-1,1]上的减函数。

(I ) 求a 的值(II )若g (x )≤t 2+λt+1对x ∈[-1,1]及λ所有可取的值恒成立,求t 的取值范围。

3. 已知2a <,函数2()()x f x x ax a e =++。

(1)当1a =时,求()f x 的单调递增区间;(2)若()f x 的极大值是26-⋅e ,求a 的值。

1.解:(1)令a=b=1 求得()01=f 2分又 ()()2212122121f f f f +⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯= ∴4121-=⎪⎭⎫⎝⎛f 5分(2) ()()()()1111112222222-------+=•=f f f f n n n n ∴ ()()11122222-----=n n n n f f令 ()n n n f b -=22 ∴112---=n n b b 9分 ∴ 数列 {}n b 是以公差d=21-212121-=⎪⎭⎫⎝⎛=f b 的等差数列 12分∴ ()⎪⎭⎫⎝⎛-•-+=2111n b b n ∴2n b n -=∴()122+--=n n n f 14分23. (1)当1a = 时,2()(1),xf x x x e =++ ∴2'()(32),xf x x x e =++ …………2分由'()0f x ≥ 得2(32)0x x x e ++≥ ,又0xe > ,∴2320x x ++≥ ,解得2x ≤- 或1x ≥-∴()f x 的增区间是(-∞,-2),[-1,+∞ ) …………6分(2)2'()[(2)2]xf x x a x a e =+++ ,由'()f x =0,得122,x x a =-=-.… …8分x ,'()f x ,()f x 变化情况列表如下:∴2x =- 时,()f x 取得极大值, 而2226)4(,)4()2(---⋅=⋅-∴⋅-=-e e a e a f ,∴2a =- . …………12分。

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