2.2.1导数与函数的单调性基础巩固题：1.函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0<a<21 B.a<-1或a>21 C.a>21D.a>-2答案：C 解析：∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>21.2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0或a ≤－4D ．a >0或a <－4答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋ax，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立， 所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x ),0<x <1，可知－4<g (x )<0， ∴a ≥0或a ≤－4，故选C.3．函数f (x )＝x ＋9x的单调区间为________．答案：(－3,0)，(0,3) 解析：f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x2，令f ′(x )<0，解得－3<x <0或0<x <3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．4 函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________答案：2(0,)3 ； 2(,0),(,)3-∞+∞ 解析： '22320,0,3y x x x x =-+===或 5．确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3 (1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1) 令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1) [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12，∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)7．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．[答案] b <－1或b >2 [解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意b ＜－1或b ＞2.8.已知x ∈R ,求证：e x ≥x +1．证明:设f （x ）=e x －x －1,则f ′（x ）=e x －1．∴当x =0时，f ′（x ）=0,f （x ）=0．当x ＞0时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数．∴f （x ）＞f （0）=0． 当x ＜0时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0．9．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x 1)′=1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1.∴y =x +x 1的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)10．已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间． 解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P （0，2），知d=2， 所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++=' 由在M(-1,f(-1))处的切线方程是76=+-y x ， 知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即{{326,23,12 1.0,3.b c b c b c b c b c -+=-=-∴-+-+=-===-即解得 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）22()36 3.3630,f x x x x x '=----=令2210.x x --=即 解得 .21,2121+=-=x x当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或 当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,()(--∞在x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数． 点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．11.已知函数f(x)=x 3-21x 2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围; 解 （1）)(x f '=3x 2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则)(x f '≥0.即3x 2-x+b≥0,∴b≥x -3x 2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x 2.当x=61时，g(x)max =121,∴b≥121. 12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2+ax ∴)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 在（2，+∞）上满足)(x f '≥0即可.∵)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 的对称轴是x=31+a ,∴a 的取值应满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥'≤+0(2)231f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+'>+0)31(231a f a 解得:a≤38.∴a 的取值范围是a≤38.13．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．14.已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，)1(-f ）处的切线方程076=+-y x ，（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间。

解：（1）由)(x f 的图象经过P （0，2），知2=d ，所以2)(23+++=cx bx x x f ，c bx x x f ++='23)(2 由在点M （)1(,1--f ）处的切线方程为076=+-y x∴ 6)1(,1)1(=-'=-f f 即 ∴ ⎩⎨⎧=+-+-=+-121623c b c b 解得3-==c b故所求的解析式是233)(23+--=x x x x f（2）363)(2--='x x x f 令03632=--x x ，解得21,2121+=--x x当21-<x 或21+>x 时，0)(>'x f当2121+<<-x 时，0)(<'x f 故23)(23+-=x x x f 在)21,(--∞内是增函数，在)21,21(+-内是减函数在),21(+∞+内是增函数点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．15．已知函数f (x )＝2x －b(x －1)2，求导函数f ′(x )，并确定f (x )的单调区间．解析：f ′(x )＝2(x －1)2－(2x －b )·2(x －1)(x －1)4＝－2x ＋2b －2(x －1)3＝－2[x －(b －1)](x －1)3令f ′(x )＝0，得x ＝b －1且x ≠1.当b －1x(－∞，b －1)b －1(b －1,1)(1，＋∞)当b －1(1，＋∞)上单调递减．当b ＞2时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，b －1)上单调递增，在(b －1，＋∞)上单调递减．当b －1＝1，即b ＝2时，f (x )＝2x －1，所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递减．强化提高题：16．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )g (b )>f (b )g (x ) B ．f (x )g (a )>f (a )g (x ) C ．f (x )g (x )>f (b )g (b ) D ．f (x )g (x )>f (b )g (a )答案：C 解析：令y ＝f (x )·g (x )，则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )，由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，所以y 在R 上单调递减，又x <b ，故f (x )g (x )>f (b )g (b )．17．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．[答案] [3，＋∞)[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax <0在区间(0,2)内恒成立， 即a >32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3.18．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________．[答案] a ≥1[解析] 由已知a ＞1＋ln xx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln xx 2＜0 (x ＞1)，∴g (x )＝1＋ln x x 在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g (x )＜g (1)， ∵g (1)＝1， ∴1＋ln xx ＜1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥1.19．函数y ＝x 2e －x 的单调递增区间是________．答案：(0,2)解析：y ′＝(2x －x 2)e －x ＞0⇔0＜x ＜2，故选填(0,2)．20 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是答案：0,3a b ac >≤且 解析： '2()320f x ax bx c =++>恒成立，则220,0,34120a ab ac b ac >⎧><⎨∆=-<⎩且 21．若函数y =－34x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________． 答案：b >0 解析： y ′=－4x 2+b ，若y ′值有正、有负，则b >0．22.定义在R 上的奇函数f(x)在［-a,-b ］(a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F （x ）=［f(x)］2在［b,a ］上的单调性并证明你的结论.解析：设b ≤x 1<x 2≤a,则 -b ≥-x 1>-x 2≥-a.∵f(x)在［-a,-b ］上是减函数,∴0<f(-b)≤f(-x 1)<f(-x 2)≤f(-a),∵f(x)是奇函数,∴0<-f(x 1)<-f(x 2)，则f(x 2)<f(x 1)<0,［f(x 1)］2<［f(x 2)］2,即F(x 1)<F(x 2). ∴F(x)在［b,a ］上为增函数.23．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性． [解析] (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3 得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．24．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---， 令()0f x '=得1x =或1x a =-，∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥， ∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤．25.设函数f(x)=x+xa(a>0).(1)求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之；（2）若函数f(x)在［a-2,+∞］上递增，求a 的取值范围.解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增区间为［a ,+∞］，减区间为（0，a ）. 证明：∵f ′(x)=1-2xa,当x ∈［a ,+∞］时，∴f ′(x)>0,当x ∈（0，a ）时，f ′(x)<0.即f(x)在［a +∞］上单调递增，在（0，a ）上单调递减.（或者用定义证） （2）［a-2,+∞］为［a ，+∞］的子区间，所以a-2≥a ⇒a-a -2≥0⇒(a +1)( a -2)≥0⇒a -2≥0⇒a ≥4.26．已知函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．解析： 可先由函数y ＝ax 与y ＝－bx 的单调性确定a 、b 的取值范围，再根据a 、b 的取值范围去确定y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．[解] ∵函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a ＜0，b ＜0.由y ＝ax 3＋bx 2＋5得y ′＝3ax 2＋2bx . 令y ′＞0，得3ax 2＋2bx ＞0，∴－2b3a ＜x ＜0.∴当x ∈⎝⎛⎭⎫－2b3a ，0时，函数为增函数． 令y ′＜0，即3ax 2＋2bx ＜0， ∴x ＜－2b3a，或x ＞0.∴在⎝⎛⎭⎫－∞，－2b3a ，(0，＋∞)上时，函数为减函数． 27 设xx e aa e x f a +=>)(,0是R 上的偶函数，（1）求a 的值；（2）证明)(x f 在（0，+∞）上是增函数。