①规定长度为0的向量为零向量，记作0；②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a的相反向量记为-a.5.共线与共面向量（1）共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∕∕b.（2）共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量．（3）定理共线向量定理：对于空间任意两个向量b(b≠、的充要条件是存在实数λ，使得.b),0a//ab=aλ共面向量定理：如果两个向量b、a不共线，则向量p与向量b、a共面的充要条件是存在唯一的有序史书对(x，y),使得p.b y=a x+6．注意：①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．二、空间向量的运算1、加减法（1）空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．（2）加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．交换律：结合律：（3）推广*首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：*首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量2.空间向量的数乘运算（1）实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．①当λ＞0时，λa与a的方向相同；②当λ＜0时，λa与a的方向相反；③当λ=0时，λa=0．④|λa|=|λ|a•，λa的长度是a的长度的|λ|倍．（2）运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律分配律：b a b a λλλ+=+)( b a a μλμλ+=+)(结合律：a a )()(λμμλ=3．空间向量的数量积和坐标运算坐标运算三．直线的方向向量1、直线的方向向量：空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定． 直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量．注意：①一条直线l 有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．②直线l 的方向向量也是所有与l 平行的直线的方向向量．2、方向向量的求法：可根据直线l 上的任意两点的坐标写出直线l 的一个方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作n⊥α，如果n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量．注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有0=n.•m④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为n=),,(wu；v（2）列：根据,0na列出方程组；•nb,0=•=（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量；（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量n的坐标．四、用向量证明平行五、用向量证明垂直一．选择题（共11小题）1．已知直线l的一般方程式为x+y+1=0，则l的一个方向向量为（）A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（1，2）D．（1，﹣2）2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=11，S5=50，则过点P（n，a n）和Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A．（﹣1，﹣3）B．（1，﹣3）C．（1，1）D．（1，﹣1）3．若直线l1，l2的方向向量分别为=（2，4，﹣4），=（﹣6，9，6），则（）A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确4．直线a，b的方向向量分别为=（1，﹣2，﹣2），=（﹣2，﹣3，2），则a 与b的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．夹角等于5．若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A．2：3：（﹣4） B．1：1：1 C．﹣：1：1 D．3：2：46．已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP ⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣157．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，能使l∥α的是（）A．=（1，0，0），=（﹣2，0，0）B．=（1，3，5），=（1，0，1）C．=（0，2，1），=（﹣1，0，﹣1）D．=（1，﹣1，3），=（0，3，1）8．设，在上的投影为，在x轴上的投影为2，且，则为（）A．（2，14）B．C．D．（2，8）9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个10．已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．111．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（）A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1）B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为二．填空题（共12小题）15．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P 在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．16．若，，则= ．17．已知A（1，2，﹣1）关于面xOz 的对称点为B，则= ．18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=AD=2，BC=1，，则CD= ．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．若以DA，DC，DS，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则M的坐标为．20．如图，为一个正方体截下的一角P﹣ABC，|PA|=a，|PB|=b，|PC|=c，建立如图坐标系，求△ABC的重心G的坐标．21．下列关于空间向量的命题中，正确的有．①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；②若非零向量，，满足⊥，⊥则有∥；③若，，是空间的一组基底，且=++，则A，B，C，D四点共面；④若向量+，+，+，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．22．由空间向量=（1，2，3），=（1，﹣1，1）构成的向量集合A={|=+k，k ∈Z}，则向量的模的最小值为．23．已知点A（1，2，1），B（﹣2，，4），D（1，1，1），若=2，则||的值是．24．已知空间四点A（0，1，0），B（1，0，），C（0，0，1），D（1，1，），则异面直线AB，CD所成的角的余弦值为．25．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是．26．已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是．三．解答题（共9小题）27．如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．28．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．（I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小．29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．30．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA=1，AD=2．（1）求平面BPC的法向量；（2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值．31．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．32．如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E 分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．33．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．34．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．35．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．2017年12月02日空间立体几何参考答案一．选择题（共14小题）1．C；2．B；3．A；4．B；5．A；6．B；7．C；8．A；9．B；10．D；11．B；12．B；13．C；14．C；二．填空题（共12小题）15．；16．3；17．（0，﹣4，0）；18．；19．（0，1，1）；20．（）；21．①③④；22．；23．2；24．；25．；26．1；三．解答题（共9小题）27．；28．；29．；30．；31．；32．；33．；34．；35．；。