第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。

使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。

教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式3.向量的概念4.向量的运算教学难点： 1. 空间思想的建立2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。

在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。

在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。

2．量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。

3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。

4．量的模：向量的大小，记为 a 、OM。

模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。

零向量的方向是任意的。

5．量平行a // b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。

零向量与如何向量都平行。

6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a二、向量的线性运算b c1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7a －42．a b c 即 a ( b) c3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积a规定为(1) 0 时， a 与a 同向， | a | | a |(2) 0 时， a 0(3) 0 时， a 与a反向，| a | | || a |其满足的运算规律有：结合率、分配率。

设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么a 0aa定理 1：设向量，那么，向量b 平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，a≠ 0使b＝a例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、MB 、MC 和 MD ，这里M是平行四边形对角线的交点。

（见图7－5）图 7－ 4解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1(a b) 2由于 MC MA ，于是 MC 1b)(a2 1(b a)又由于 a b BD 2 MD ，于是 MD1 (b 2由于 MB MD ，于是 MB a)2三、空间直角坐标系1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图 7－ 1，其符合右手规则。

即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度2转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。

2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别为 xoy 面、yoz面、zox面。

坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。

图图 7－1 右手规则演示7－ 2 空间直角坐标系图图7－3空间两点M 1 M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z)的坐标表示方法。

通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。

注意：特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。

4．空间两点间的距离。

若M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，则 M 1 M 2的距离（见图7－ 3），利用直角三角形勾股定理为：d 2 M 1M 2 2 2 2M 1 NNM 22 2NM 2 2M 1 p pN而M 1 P x2 x1PN y2 y1NM 2 z2 z1所以d M 1 M 2 ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 ) 2特殊地：若两点分别为M ( x, y, z) ， o(0,0,0)d oM x 2 y 2 z2例 1：求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。

2(4 7) 2 (3 1)2 (1 2)2 14证明 : M 1 M 2M 2 M 3 27)2 (2 1)2 (3 2)2 6 (52(5 4)2 ( 2 3) 2 (3 1) 2 6M 3 M 1由于M 2 M 3 M 3 M 1，原结论成立。

例 2：设P在x轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为到点 P2 (0,1, 1) 的距离的两倍，求点P 的坐标。

解：因为 P 在x轴上，设P点坐标为( x,0,0)PP1 x 2 2 2 2 x 2 11 2 2 2 2 23x 1 x 2PP 1PP1 2 PP2 x2 11 2 x2 2x 1所求点为：(1,0,0) ， ( 1,0,0)四、利用坐标系作向量的线性运算1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。

设 a = M 1M 2 是以 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 为起点、 M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) 为终点的向量， i 、 j 、 k分别表示图 7－ 5沿 x ， y ，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图 7－ 5，并应用向量的加法规则知：M M2( x2x ) i + ( y 2 y 1 ) j + (z 2 z 1 ) k11或a = a x i + a y j + a z k上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。

有序数组a x、 y 、 z 与向量 a 一一对应，向量 a 在三条坐标轴上的投影x、 y 、 z 就a a a a a叫做向量 a 的坐标，并记为a ＝ { a x ， a y ， a z } 。

上式叫做向量 a 的坐标表示式。

于是，起点为 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 终点为 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 的向量可以表示为M 1M 2 { x 2 x 1, y 2 y 1 , z 2z 1 }特别地，点 M ( x, y, z) 对于原点 O 的向径OM { x, y, z}注意 ：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。

向量 a 在坐标轴上的投影是三个数a x 、 a y 、 a z ，向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量xi 、y、z.a a j a k2．向量运算的坐标表示设 a{ a x , a y , a z } ， b { b x , b y ,b z } 即 a a x i a y ja z k ，b b x i b y j b z k则(1) 加法：a b(axb x )i (a yb y ) j(azb z )k◆ 减法：a b(axb x ) i(ayb y ) j( a zbz) k◆ 乘数： a ( a x )i ( a y ) j ( a z ) k◆ 或 a b { a x b x , a y b y , a z b z}a b { a x b x , a y b y , a z b z}a { a x , a y , a z}◆平行：若 a≠0时，向量b // a相当于b a ，即{ b x , b y ,b z} { a x , a y , a z}也相当于向量的对应坐标成比例即b x by b za x a y a z五、向量的模、方向角、投影设 a { a x , a y , a z} ，可以用它与三个坐标轴的夹角、、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称、、为非零向量 a 的方向角，见图7－ 6，其余弦表示形式cos 、cos 、cos 称为方向余弦。

1．模a a x2 a2y a2z2．方向余弦a x M 1 M 2 由性质 1 知a y M 1M 2a z M 1 M 2 cos a coscos a cos，当a a2x a2y a 2z0 时，有cos a cosa x a xcosa a x2 a y2 a z2a y a ycosa a x2 a y2 a z2a z a zcosa a x2 a y2 a z2◆任意向量的方向余弦有性质：cos2cos2cos2 1 ◆与非零向量 a 同方向的单位向量为：a 0 a 1 { a x , a y , a z } {cos , cos , cos }a a例：已知两点 M(2,2, 2 )、M(1,3,0) ，计算向量 M 1M 2 的模、方向余弦、方向角以及与1 2M 1M 2同向的单位向量。

解： M 1M 2 ＝ {1-2 ， 3-2 ，0- 2 }={-1 ， 1，- 2 }M 1 M 2 ( 1) 2 12 ( 2) 2 2cos1， cos1， cos22 2 22，，33 3 4设 a 0为与M1M2 同向的单位向量，由于 a0 {cos , cos , cos }即得a0 { 1 , 1 , 2 }2 2 23．向量在轴上的投影(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u ， AB 是轴 u 上的有向线段，如果数满足AB ，且当 AB 与轴 u 同向时是正的，当 AB 与轴 u 反向时是负的，那么数叫做轴 u 上有向线段AB 的值，记做AB，即AB 。

设e是与u轴同方向的单位向量，则AB e(2) 设 A、 B、C是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有AC AB BC(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量 a 和b，任取空间一点O，作OA a ，OB b，规定不超过的 AOB 称为向量 a 和b的夹角，记为(a,b)(4)空间一点 A 在轴u上的投影：通过点 A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A'叫做点 A 在轴u上的投影。

(5)向量 AB 在轴 u 上的投影：设已知向量 AB 的起点A和终点B在轴 u 上的投影分别为点 A'和 B '，那么轴u上的有向线段的值A' B'叫做向量AB在轴u上的投影，记做Pr j u AB 。

2．投影定理性质1：向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：Pr j u AB AB cos性质 2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即Pr j u ( a1a2 ) Pr j a1Pr j a2性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。

即Pr j u ( a)Pr j a小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。

本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。