三角函数的定义域、值
域和最值
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三角函数的定义域、值域和最值
一 知识点精讲： 1 三角函数的定义域
（1）r y =αsin 定义域为R. （2）r x
=αcos 定义域为R.
（3）x y =
αtan 定义域为 ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα. （4）y x =αcot 定义域为
{}Z k k ∈≠,|παα.
2 三角函数的值域 ① )0(,sin ≠+=a b x a y 型
当0>a 时，],[b a b a y ++-∈ ； 当0<a 时 ],[b a b a y +-+∈ ② c x b x a y ++=sin sin 2型
此类型的三角函数可以转化成关于sinx 的二次函数形式。

通过配方，结合
sinx 的取值范围，得到函数的值域。

x sin 换为x cos 也可以。

③ x b x a y cos sin +=型
利用公式a
b
x b a x b x a =++=+φφtan ),sin(cos sin 22， 可以转化为一个三角函数的情形。

④x x b x x a y cos sin )cos (sin ++=型
利用换元法，设x x t cos sin +=, ]2,
2[-∈t ，则2
12cos sin -=
t x x ,
转化为关于t 的二次函数2
22122b
at t b t b at y -+=-+=. ⑤x x c x b x a y cos sin cos sin 22++=型
这是关于x x cos ,sin 的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，2
2sin cos sin ,22cos 1cos ,22cos 1sin 22x
x x x x x x =+=-=
， 可转化为p x n x m y ++=2cos 2sin 的形式。

⑥ d
x c b
x a y ++=
sin sin 型 可以分离常数，利用正弦函数的有界性。

⑦b
x a
x y ++=
cos sin 型 可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，
a by x y x -=-cos sin ，11,
1)sin(2
2
≤+-+-=
-y
a by y
a by x φ, 通过解此不等式可得到
y 的取值范围。

或者转化成两点连线的斜率。

以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x 有具体的角度范围，则再进行限制。

二 典例解析：
例1．求下列函数的定义域
（1）x x y 2cos 2sin 33--=； （2）)2
1(cos log sin +=x y x . （3）
x x y cos lg 252+-=；
例2．求下列函数的值域
(1) 3sin 2+-=x y （2）4sin 5cos 22-+=x x y ；
（3）x x x x y 22cos 2cos sin 4sin 5+-=； (4)x x x x y cos sin cos sin ++= （5）2sin 31
sin 3++=x x y ； （6）2
cos 2sin ++=x x y
（7）x x y cos )6
sin(π
-=. （8）)
4
(
tan 1)4
(tan 12
2x x y -+--=
ππ
（9）求函数x x
x x
y 2sin cos sin 12sin +--=的值域.
三 课堂练习：
1．若αααα则,11sec csc cos 2-=-⋅所在的象限是
（ ） A ．第二象限 B ．第四象限
C ．第二象限或第四象限
D ．第
一或第三象限 2．不解等式：
（1）21sin -<x （2）21
cos >x
3．已知)(cos ),2
3
,21()(x f x f 则的定义域为-的定义域为____________.
4．求下列函数的定义域 （1）1tan 1
-=
x y （2）.251sin 2x
x y -+
=
5．求下列函数的值域 （1）1cos 2-=x y
（2）.sin 1cos sin 22x
x
x y +=
（3）].,[2sin 2
1
cos sin 1ππ-∈+++=x x x x y （4）.sin cos 3x x y -=
（5）x
y sin 21
+= （6） 1cot 4tan 22++=x y
6．有一块扇形铁板，半径为R ，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形的最大面积．。