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专题三：三角函数的定义域与值域（习题库）
一、选择题
1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（）
A、[﹣，]
B、[，]
C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）
D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）
分析：由题意知，求出x的围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴，
解答（k∈Z）
∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D．
2、函数的定义域是（）
A、.
B、.
C、
D、.
解答：由题意可得sinx﹣≥0⇒sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B．
3、函数的定义域为（）
A、B、
C、D、
解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+），
∴，故选D．
4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（）
A、[1，]
B、
C、
D、
解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx=
==又∵∴
∴则1≤f（x）≤故选A．
5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（）
A、[﹣1，1]
B、[﹣，1]
C、[﹣，﹣1]
D、[﹣1，]
解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣
=sin2x+sinx﹣1=﹣
∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣．
sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B．
6、函数值域是（）
A、B、C、D、[﹣1，3]
解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B
7、函数的最大值是（）
A、5
B、6
C、7
D、8
解答：∵=
=∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是7
8、若≤x≤，则的取值围是（）
A、[﹣2，2]
B、
C、
D、
解答：=2（sinx+cosx）=2sin（），
∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1，
则函数f（x）的取值围是：．故选C．
9、若，则函数y=的值域为（）
A、B、C、D、
解答：函数y===因为，所以sin∈（0，）∈故选D
10、函数，当f（x）取得最小值时，x的取值集合为（）
A、B、
C、D、
解答：∵函数，∴当sin（﹣）=﹣1时函数取到最小值，
∴﹣=﹣+2kπ，k∈Z函数，∴x=﹣+4kπ，k∈Z，
∴函数取得最小值时所对应x的取值集合:
为{x|x═﹣+4kπ，k∈Z} 故选A．
11、函数y=sin2x﹣sinx+1（x∈R）的值域是（）
A、[，3]
B、[1，2]
C、[1，3]
D、[，3]
解答：令sinx=t，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2+，t∈[﹣1，1]，
由二次函数性质，当t=时，y取得最小值．
当t=﹣1时，y取得最大值3，∴y∈[，3] 故选A．
12、已知函数，则f（x）的值域是（）
A、[﹣1，1]
B、
C、
D、
解答：解：由题=，
当x∈[，]时，f（x）∈[﹣1，]；当x∈[﹣，]时，f（x）∈[﹣1，] 可求得其值域为．故选D．
13、函数的值域为（）
A、B、C、[﹣1，1] D、[﹣2，2]
解答：=﹣sinxcosx+cos2x
=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）
∴函数的值域为[﹣1，1] 故选C．
14、若≥，则sinx的取值围为（）
A、B、
C、∪
D、∪
解答：∵≥，∴
解得x∈[，）∪（，] ∴sinx∈故选B
15、函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，]上的值域为（）
A、[﹣，2]
B、[﹣，2）
C、[﹣，]
D、（﹣，]
解答：∵x∈[﹣，] ∴cosx∈[﹣，1]
又∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2
则y∈[﹣，2] 故选A
二、填空题（共7小题）
16、已知，则m的取值围是．
解答：∵=2（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），
∴﹣2≤≤2，∴m≥，或m≤﹣，
故m的取值围是（﹣∝，﹣]∪[，+∞）．
17、函数在上的值域是___________．
解答：因为
，
故故答案为：
18、函数的值域为．
解答：由题意是减函数，﹣1≤sinx≤1，从而有函数的值域为，故答案为
19、（理）对于任意，不等式psin2x+cos4x≥2sin2x恒成立，则实数p的围为．
解答：∵psin2x+cos4x≥2sin2x ∴psin2x≥2sin2x﹣1﹣sin4x+2sin2x=4sin2x﹣sin4x﹣1 ∴p≥4﹣（sin2x+）而sin2x+≥2
∴4﹣（sin2x+）的最大值为2则p≥2 故答案为：[2，+∞）
20、函数的值域是．
解答：令t=sinx+cosx=，t2=1+2sinxcosx
∵∴x+∴从而有:
f（x）==﹣2
在单调递增
当t+1=2即t=1时，此时x=0或x=，函数有最小值
当t+1=1+即t=时此时x=，函数有最大值2﹣2
故答案为：[﹣2]
21、函数的定义域为．
解答：要使函数有意义，必须解得，
故答案为：（0，）．
三、解答题（共8小题）
22.（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；
（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；
分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx 以它的值充当角。
解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。
∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。
（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。
又∵－1≤cosx≤1，
∴0＜cosx≤1。
故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。
23、（2007•）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）若角a在第一象限，且cosa=3/5，求f（a）
解答：（Ⅰ）由≠0得x+≠kπ，即x≠，
故f（x）的定义域为．
（Ⅱ）由已知条件得．
从而=
==．
24、（2006•上海）求函数的值域和最小正周期．解答：
===
∴函数的值域是[﹣2，2]，
最小正周期是π；
25、设，定义．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的值域．
解答：（Ⅰ）=sinxcosx﹣cos2x=﹣=，∴周期T=π．
（Ⅱ）∵，∴，
∴，∴f（x）的值域为．
26、已知函数：
（1）求函数f（x）的周期、值域和单调递增区间；
（2）当时，求函数f（x）的最值．
解答：（1）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+
∴函数的最小正周期T==π，﹣1≤sin（2x+）≤1，故函数的值域为[﹣，]
当2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，即kπ﹣≤x≤kπ+，函数单调增，
故函数的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）
（2）∵∴2x+∈[，]
∴当2x+=时函数的最小值为﹣；当2x+=时函数的最大值为+=1
27、已知函数．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥m对都成立，数m的最大值．
解答：（I）因为=
由得
所以f（x）的单调增区间是；
（Ⅱ）因为，所以所以
所以故m≤1，即m的最大值为1．
28、已知函数
（1）求的值；
（2）写出函数函数在上的单调区间和值域．
解答：=
（1）当时，f（x）=2﹣sinx﹣cosx，故．
（2）当时，|cosx|=﹣cosx，|sinx|=sinx，
故，
当时，
故当是，函数f（x）单调递增，
当时，函数f（x）单调递减；函数的值域是．
29、已知函数
（1）设ω＞0为常数，若y=f（ωx）在区间上是增函数，求w的取值围（2）设集合，若A⊆B，数m的取值围．解答：（1）
∵f（ωx）=2sinωx+1在上是增函数．
∴，即
（2）由|f（x）﹣m|＜2得：﹣2＜f（x）﹣m＜2，即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2
∵A⊆B，∴当时，f（x）﹣2＜x＜f（x）+2恒成立．
∴[f（x）﹣2]max＜m＜[f（x）+2]min
又时，∴m∈（1，4）30、已知点A（1，，0），B（0，，1），C（2sinθ，cosθ）．
（Ⅰ）若，求tanθ的值；
（Ⅱ）设O为坐标原点，点C在第一象限，求函数的单调递增区间与值域．
解答：（Ⅰ）∵A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）
∵∵
∴化简得2sinθ=cosθ．
∵cosθ≠0（若cosθ=0，则sinθ=±1，上式不成立），∴
（Ⅱ）∵，
∴y=2sinθ+2cosθ=
∴求函数的单调递增区间为
值域是。