π 例 3 (1)已知函数 f(x)＝4cosxsin(x＋6)－1. ①求 f(x)的最小正周期； π π ②求 f(x)在区间[－6，4]上的最大值和最小值． π π π ②因为－6≤x≤4， 解:①因为 f(x)＝4cosxsin(x＋6)－1
π π 2π 所以－6≤2x＋6≤ 3 . π π π 于是，当 2x＋6＝2，即 x＝6时，
2
2 3 sin x cos x 2 cos x 1
3 1 4 cos x( sin x cos x) 1 2 2
3 sin 2x cos2x
2 sin( 2 x
2 T 2

6
)
π π f(x)取得最大值 2；当 2x＋6＝－6， π 即 x＝－6时，f(x)取得最小值－1.
蒙山中学
(202全国1)15、当函数 y sin x 3 cos x(0 x 2 ) 取最大值时，
x
(2013全国1)15、 设当x=θ时， 函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值， 则cosθ=______
(2014 全国 1)14、函数的
y cos2 x sin x 最大值为：
解：f(x)＝2(2cos2 x－1)＋(1－co 4cos x － 1 ＝ 3(cos x － 3 ) － 3 ， x ∈ R ，
2
9 π π 22 7 (1)f(3)=3(cos3－3) －3=－4 (2)因为 cos x∈[－1,1]， 所以， 当 cos x＝－1 时， f(x)取最大值 6； 2 7 当 cos x＝3时，f(x)取最小值－3.
3．利用－ a2＋b2≤asinx＋bcosx≤ a2＋b2. 4．求三角函数的值域或最值应结合函数的定义域、 图像、周期、单调性． asinx＋b 5． y＝ 型． ccosx＋d (1)转化为 Asinx＋Bcosx＝C 型． (2)利用直线的斜率求解． 6．求三角函数值域或最值时应注意运用换元法，将 复杂函数转化为简单函数．

(2016 全国 2)11、函数 f ( x) cos 2 x 6 cos( 2 x) 的最大值为 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7
主要公式回顾： sin 2 2 sin cos
cos 2
cossin
2 2
2
2
2 cos 1
1 2 sin

(2016 全国 2)11、函数 f ( x) cos 2 x 6 cos( 2 x) 的最大值为 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7
题型四： 和、差、积型， 形如: y sin x cos x k sin x cos x
例5：求函数y sin x cos x sin x cos x的最大值。
解：设sin x cos x t , （ 2 t 2 )
2 t 1 则1 2 sin x cos x t ， 即： sin x cos x , 2 t 2 1 1 2 y t (t 1) 1 2 2

a sin x b cos x
b a b sin( x )其中 tan a
2 2
专题学习
三角函数的值域(最值) -----几种求法
题型一
y=Asin(ωx＋φ)＋h 型的最值问题
我们知道正弦函数和余弦函数具有有界性。 即 sin x 1; cos x 1； 于是我们可以将一些函数化为 f ( x) A sin( x ) h的形式。 当A 0时，f ( x) max A h f ( x) min A h 当A 0时，f ( x) max A h f ( x) min A h
小值是 4、函数
y
7 8
，最大值是：
4
。
sin 2 1 cos 1
的值域是：
1,
1.利用三角函数有界性
函数 y＝sinx 定义域 值域 R cosx R tanx π {x|x≠kπ＋2，k∈Z} R
[－1,1] [－1,1]
2.求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理， 其整理目标为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 型
像可直观地求出函数的值域，从而减少运算量．
巩固练习： 1、函数 f ( x) sin 2x 2 sin x 的最大值为：2 1
2
2、函数 y sin 3、当
7 x , 6 6
2
x cos x 1的值域是：
1 2, 4
2 y 3 cos x 2 sin x 的最 时，函数
（3）y 1 sin x 2
[-2,2]
[1,5]
[0,
2 2
]
(4) y a cos x b （a 0)
当a>0,[-a+b,a+b] 当a<0,[a+b,-a+b]
题型二、 二弦合一型 y= a sin x b cos x c = 型的最值问题 a 2 b 2 sin x c
作业课后
(202全国1)15、当函数 y sin x 3 cos x(0 x 2 ) 取最大值时，
x
(2013全国1)15、 设当x=θ时， 函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值， 则cosθ=______
(2014 全国 1)14、函数的
y cos2 x sin x 最大值为：
例4、已知函数 f x 2 cos2x sin 2 x 4 cos x
(1)求 f 的值 3
(2) f x 的最大值和最小值
例4、已知函数 (1)求 的值 (2)求 f x的最大值和最小值
f 3
f x 2 cos2x sin 2 x 4 cos x
例1
(1)求 f(x)＝3sinx， x∈[0， π]的值域．
【解析】 ∵0≤x≤π，0≤sinx≤1,
0,3 f ( x)的值域为：
(2)设函数 f(x)＝2asinxcosx＋5( a
0 )．并
求函数 f(x)的最小正周期及函数 f(x)的值域．
解：函数可化为 f ( x) a sin 2 x 5
sin x 2 例 6 (1)求函数 f(x)＝ cos x 2 的值域． sin x 1 y y k 解： (1)函数 f(x)＝ cos x 1 ， 可看作点(1,1)， (cosx， x x
2 2 1 1
sinx)两点连线的斜率．点(cosx，sinx)的轨迹为 x2＋y2＝1. 函数值域即为(2,2)与单位圆 x2＋y2＝1 上点连 线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆 相切的斜率存在，不妨设为 k.
例 2 (1)求 f(x)＝3sinx＋4cosx，x∈[0，π]的值域．
4 3 sin x cos x 解： f ( x) 3 sin x 4 cos x 5 5 5 3 4 cos sin 5 sin(x ) ，其中 5 5
π 0<φ<2，∵0≤x≤π，∴φ≤x＋φ≤π＋φ， π ∴当 x＋φ＝2时，f(x)max＝5. 当 x＋φ＝π＋φ 时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sinφ＝－4. ∴f(x)的值域为[－4,5]
当a 0时，f ( x) max a h, f ( x) min a h 当a 0时，f ( x) max a h, f ( x) min a h
口答下列函数的最大值和最小值。
(1) y 2sin x
（2）y 3 2 cos( 2 x ) 3
2
所以，当 t 2时， ymax
1 2. 2
探究 2
可化为 y＝f(sinx)型三角函数的值域
也可通过换元法转为其他函数的值域．
asinx＋b 题型五：分式型．形如 y＝ ． ccosx＋d
(数形结合) (1)转化为 Asinx＋Bcosx＝C 型．
y2 y1 k (2)利用直线的斜率 x2 x1 求解．
探究 1 化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式求最值 时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最 小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与 最高点、最低点的取值来确定函数的最值．
2 y sin x p sin x 题型三： 二次型，形如 ,q
或
y a cos2 x b cos x c 的值域 y at h2 k
∴切线方程为 y－2＝k(x－2)，即 kx－y－2k＋2＝0. ∴满足 |2－2k| 1＋k
2 2 2 k 1 k ＝1， ， 2
即：
3k 2 8k 3 0
4± 7 解之得 k＝ 3 . 4－ 7 4＋ 7 ∴函数 f(x)的值域为[ 3 ， 3 ]．
探究 3
借助一些代数式的几何意义或三角函数的图