10月16日
1:求极限3
0sin arctan lim x x
x x -→.
2:已知
,0)0(,1)0(=='f f 求)2
(lim n
nf n ∞
→. 3：设数列}{n x 满足: ),,2,1(sin ,011 ==<<
+n x x x n n π求:
(1)
证明n n x ∞
→lim 存在, (2)计算1
1)(lim n x n n n x x +∞→ 4：已知
)(x f 在0=x 的某个邻域内连续,且,2cos 1)
(lim ,0)0(0
=-=→x
x f f x 则在点0
=x 处
)(x f
(A) 不可导 (B) 可导,且
,0)0(≠'f
(C) 取得最大值 (D) 取得最小值 5：设
,3)(22x x x x f +=则使)0()(n f 存在的最高阶数n 为 .
6：求对数螺线θ
ρe =在点)2,(2
π
πe 处得切线的直角方程.
7：计算dx e e x x )(0
cos cos ⎰
--π
.
8：计算dx x x ⎰
++4
2
)
2()
1ln(. 9: 计算
dx x x ⎰
-π
53sin sin .
10: 化三重积分
⎰⎰⎰Ω
)
,,(z y x f 为累次积分,其中
Ω
为六个平面
2,,42,1,2,0===+===z x z y x y x x 围成的区域..
11：求2
2
2
a z y =+在第一卦限中被)0(,),0(,0>=>==
b b y m my x x
截下部分
面积. 12计算,)(22dxdydz y x I
⎰⎰⎰Ω
+=其中Ω是曲线0,22==x z y 绕OZ 轴旋转一周而
成的曲面与两平面8,2==z z 所围的立体.
级数部分 13:设1,32,1,11221
≥+===++n a a a a a n n n ，求n n n x a ∑∞
=1
的收敛半径、收敛域
及和函数。
解：把1,3212≥+=++n a a a n n n 化为),3(3112n n n n a a a a --=-+++则123++-n n a a 是以 －2为首项，－1为公比的等比数列，所以n n n a a )1(2312--=-++此式又可以
化为])1(21
[3])1(21[1122++++-+=-+n n n n a a 则1
)1(21n n a -+是以 2
1为首项，3为公比的等比数列，
所以132
1)1(21-⨯+--=n n
n a 由于,3lim =∞→n n n a
所以
n
n n
x a ∑∞
=1
的收敛半径是31，收敛域是)31,31[-，和函数是 )31)(1()
1(31361121)3(61)(21111
x x x x x x x x x x x a n
n n
n n
n n
-+-=-⨯++-⨯-=+--=∑∑∑∞=∞=∞
= 14已知)(x f n 满足x
n n n e x
x f x f 1)()(-+='
（n 为正整数），且n
e
f n =
)1(，求函数项级数)(1
x f
n n
∑∞
=之和（2001，3）.
解：由已知条件可见
x n n n e x x f x f 1)()(-=-'
其通解为
)(
)(1c n x e c dx e e x e x f n
x dx x n dx n +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-- 由条件n e f n =)1(，得0=c ，故n
e x x
f x
n n =)(。
从而
∑∑∑∞
=∞
=∞
===111)(n n x
n x n n n n
x e n e x x f
记∑∞
==1
)(n n
n x x s ，其收敛域为[)1,1-，当()1,1-∈x 时，有
x
x
x s n n -=
='∑∞
=-11)(1
1
故 )1
l n (11
)(0x dt t x s x
--=-=
⎰。
当1-=x 时，
∑∞
=--=1
12ln )(n n
e x f
于是，当11<≤-x 时，有
∑∞
=--=1
)1l n ()(n x n
x e x f
15：将函数)11(2)(≤≤-+=x x x f 展成以2为周期的傅里叶级数,并求级数∑∞
=1
2
1n n
的
和.
16.计算不定积分⎰+-=dx xe x x
x I x )
cos 1(cos sin cos sin 2（里20）
提示：)sin (cos )(cos 2sin sin x x e xe x x -='
17.计算不定积分⎰++dx x x 1
1
4
2（例13） 提示：2
11)1(x x x -='- 18.计算不定积分⎰--=
dx x x x
I 2)ln (ln 1（例6）
提示：2ln 1)ln (
x
x
x x -=' 19.已知x x x x x x x e e xe y e xe y e xe y ---+=+=+=23221,,是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
（例24） 20.设⎰--
=x
dt t f t x x x f 0)()(sin )(，其中)(x f 为连续函数，求)(x f 。
（例40） 21.设二阶常系数齐次方程x e y y y γβα=+'+''的一个特解为x x
e x e y )1(2++=，试确定常
数γβα,,，并求该方程的通解。
（例41）
22.设),(t x f y =，其中),(y x t t =是由0),,(=t y x G 确定，其中G f ,具有连续的一阶偏导
数，求
dx
dy 。
（例23） 23.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=++x
y x z y x 24
2
2222在点)2,1,0(处的切线与法平面方程。
（例14） 24.求内接于椭球122
2222=++c
z b y a x 的最大长方体的体积。
（例20）
25.设∑为曲面21,222≤≤--=z y x z 取上侧， 求⎰⎰∑
--+=
dxdy z x yzdzdx x dydz x z x
I 2223
)(。
（例4）
26. 设∑为一光滑闭曲面，所围立体Ω的体积为V ，θ是∑外法向量与点),,(z y x 的向径r
的夹角，222z y x r ++=
，试证
⎰⎰∑=V dS r θcos 3
1。
（例10） 27.设S 是球面1222=++z y x 的外侧，计算⎰⎰-+=
S z z dxdy
y dzdx x
x dydz I 222cos cos cos 2。
（例23） 28.设)(),(],,[)(),(0x g x f b a C x g x f ∈在),(b a 内可导，且),(b a x ∈时，
0)()()()(≠'-'x g x f x g x f ，证明:如果)(x f 在),(b a 内有两个零点，则介于这两个零点之
间)(x g 至少有一个零点。
（例14）
29.设函数)(x f 在]1,0[上连续，在),(b a 内可导，且2
1)21
(,0)1()0(===f f f ， 试证：至少存在一点)1,0(∈ξ，使1)(='ξf 。
（例21）
30.设函数（1）)(x f 在],[b a 上连续，（2）)(x f 在),(b a 内可导，)0(>a 试证：至少存在一点),(b a ∈ξ，使)()()]()([22
2
ξξf b a b f a f '-=-。
（例38）。