分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班)指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。

差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析.关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian(Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Nie huaAbstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words: differential method, finite element method, convergence, stability1 绪 论1.1 引 言自然界里中热的传播，溶质在液体中弥散，多孔介质中渗流等随时间发展的现象和过程，都可以用抛物型方程来描述.因此，抛物型方程是刻画自然界的一类很重要的方程.然而，很多的方程我们并不能求出它的精解确，或者表达式过于复杂，所以需要采用数值方法去计算它们的近似解.抛物型方程最基本的计算方法当属有限差分法[1]，通过离散化便可得到计算格式，该方法构造简单，易于操作.但是在处理一些复杂的边值问题时计算会很复杂，因此我们需要探讨一些新的处理手段.有限元计算方法起源于椭圆型方程的计算，它将求解椭圆型方程的解转换为求解其变分形式的解[1],从而极大地丰富了偏微分方程的计算手段.正式由于其在椭圆型方程计算中的巨大优势，以及抛物型方程与椭圆型方程的密切联系，所以该方法很自然的被推广到了抛物型方程初边值问题的计算上[4].本文系统的总结了一类抛物型方程的计算方法，包括有限差分法和有限元方法.并且通过数值算例给出了两类方法的一个比较.为此,本文需要先给出一些基本的分析知识作为研究该问题的基础[6,7]，下来就给出了抛物型方程的变分形式，这个是构造有限元计算格式的基础，在此基础上，给出了有限元计算格式并讨论了其收敛性和稳定性. 1.2 准备知识抛物型偏微分方程是一类典型的发展方程，其一般形式如下：)()(x f u L tu=-∂∂ （1.1.1） 其中),(t x u 是空间自变量).....(1n x x x =和时间t 的未知函数，L 是关于空间变量的线性椭圆型微分算子，即f u c x b x x a L n i i i j i n j i ij=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂±≡∑∂∑=21, 其系数的实函数为自变量和右端项)...(,,1n ij ij x x x f c b a =，且在方程（1.1.1）的定义域n R ∈Ω中满足椭圆性条件Ω∈∀∈=∀>≥∑∑==x x ix x aR nn ni j i nj i ij,}0{).....(,0)()()(1121,ξξξααξξξ（1.1.2）当L 是非线性椭圆型微分算子或者f 是u 的非线性函数时，则称相应的抛物型方程为非线性的.下面给出抛物型方程的定解条件： 初值条件，不妨设初始时刻0=t ,则Ω∈∀=x x u x u ),()0,(0 （1.1.3） 第一类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=t x t x u t x u D （1.1.4） 第二类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=∂∂t x t x g t x vu（1.1.5） 第三类边值条件：0,),,(),)((>∀Ω∂∈∀=+∂∂t x t x g t x u tuα （1.1.6） 其中00),(,,>≥ααα上，且至少在一部分边界的已知函数，是t x u g u D ，v 为的单位外法向量Ω∂.2，有限差分法本章将给出抛物型方程最基本的计算方法—有限差分法。

我们以一维热传导方程为例，给出其差分格式并讨论其收敛性，稳定性等基本问题.本章内容主要引用文献[1].用差分法计算抛物型方程的初边值问题时，可以先考虑在区域Ω上引入空间网格，例如在直角坐标系中采用平行于坐标轴的等距离直线族形成的矩形网格，其次，将定义在+⨯ΩR 上的函数),(t x u 替换成定义在空间网格节点集上的离散函数)(t U ;然后，用适当的差分格式将微分算子L 替换成差分算子h L ，这一过程称为半离散化.对由半离散化得到的常微分方程初值问题，再进一步对时间离散化，选用适当的求解常微分方程初值问题的数值方法，就得到求解抛物型方程的初边值问题的全离散化格式.接下来，将按照这一处理思路对热传导方程的差分计算格式进行探讨. 2.1 差分格式考虑一维热传导方程：)(22x f x u a t u +∂∂=∂∂，0<T t ≤ （2.1.1）其中a 是正常数，)(x f 连续。

下面给出两类定解条件：第一，初值问题：求可微函数),(t x u ，满足（1.1.1）和初始条件：∞<<-∞=x x x u ),()0,(φ （2.1.2） 第二，初边值问题：求可微函数满足方程),,(t x u （1.1.1）和初始条件：l x x x u <<=0),()0,(φ （2.1.3） 以及边值条件T t t l u t u ≤≤==0,0),(),0( （2.1.4） 现在考虑边值问题（1.2.1），（1.2.3），（1.2.4）的差分格式.取步长空间J l h =和时间步长NT =τ，其中N J ,都是自然数.用两族平行直线)....1,0(J j jh x x j ===和)....1,0(N n n t t n ===τ将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(n j t x .以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h h h G G -=Γ是网格界点集合.其次，用n j u 表示定义在网点),(n j t x 上的函数N n J j ≤≤≤≤0,0，用适当的差商代替方程（1.2.1）中相应的偏微商，便得到以下几种最简单的差分格式. 2.1.1 向前差分格式 考虑,22111jnj n j n j n j n j f h u u u a u u ++-=--++τ （2.1.5）其中 0),(),(00=====n Jn j j jj j u u x u x f f φφ1...1,0,1...2,1-=-=N n J j以2h a r τ=表示网比，将（2.2.5）整理成易于计算的形式，使得第n 层值，即上标为n 在等式右边，第1+n 层值在等式左边，则可得到j nj n j n j n j f ru u r ru u τ++-+=-++111)21( （2.1.6） 这样的话，又（2.1.6）取0=n ，利用初值条件j j u ϕ=0和边值条件00==nJ n u u 可计算出1j u .再将1=n 的值带入计算，从而就可逐次迭代计算出所以的n j u ，并且视其为精确解),(n j t x u 的近似，由于第（1+n ）层的值通过第n 层值明显表示，无需求解线性代数方程组，如此差分格式称为显示格式. 下来给出这种计算格式的误差分析：记22x ua t u Lu ∂∂-∂∂=2111)1(2hu u u au u u L nj n j n j n jn j n jh-+++---=τ显然截断误差 )()()~](21121[][),()(22222)1(h O h O tur Lu t x u L u R n jnjn j hu j+=++∂∂--=-=τττ （2.1.7） 2.1.2向后差分格式 考虑,0),(,2002111111====++-=-+-++++nJ n j j j j n j n j n j n jn j u u x u f hu u u au u ϕϕτ (2.1.8）1....1,0,1....2,1-=-=N N J J 将上式改写为.)21(11111j nj n j n j n j f u ru u r ru τ+=-++-+-+++ (2.1.9)显然，第（1+n ）层的值不能用第n 层值明显表示，而是由线性代数方程组（2.1.9）确定，这样的差分格式称为隐格式. 令 ,22111111)2(hu u u au u u L n j n j n j n jn j n jh+-+++++---=τ则截断误差为).()()~](21121[][),()(22222)2(h O h O tur Lu t x u L u R n jn jn j hn j+=++∂∂+-=-=τττ （2.1.10）此外，还有六点差分格式以及Richardson 格式，具体可以参见文献[1]，都是简单的抛物型方程差分格式.2.2 差分格式的稳定性与收敛性差分格式的稳定性概念见文献[1]，此处本文只给出相关的稳定性定理及实例分析.2.2.1判别稳定性的直接估计法（矩阵法）命题1[1]（必要条件）以）（C ρ表示矩阵）（τC 的谱半径，则差分格式稳定性的必要条件是存在与τ无关的常数M 使））（）（（）（τρτρO C M C +≤+≤11 （2.2.1） 命题2[1]（充分条件）若）（τC 是正规矩阵，及C 和它的共轭转置*C 成绩可交换：C C CC **=，则（2.2.1）也是差分格式稳定的充分条件.推论1 若S 是对称矩阵，）（τC 是矩阵S 的实系数有理函数：)()(S R C =τ,则差分格式稳定的充要条件是τλM R +≤1)(max s j j，其中s j λ是S 的特征值。