（3.3a） （3.3b）
； 其中
， LOD格式的计算步骤可以总结如下：
1） 令，。 2） 求解三对角线性方程组（3.3a）得到差分解。 3） 若，则增加1，转步骤4）。否则转4）。 4） 令。 5） 求解三对角线性方程组（3.3b）得到差分解。 6） 若，则增加1，转步骤5）。否则转7）。 7） 若，则增加1，转步骤2）。否则结束。
,
及边值条件
，
假定和在相应的区域光滑，并且于，两点满足相容条件,
则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近
取 为空间步长，为时间步长，其中，是自然数，
,； ,
将矩形域分割成矩形网格。其中 表示网格节点；
表示网格内点（位于开矩形中的网格节点）的集合；
表示位于闭矩形中的网格节点的集合；
时我们简单地称差分格式稳定。
冯诺依曼稳定性分析估量了误差的放大或扩大。对一
种稳定的方法，必须选取步长使误差的放大因子不大于1.
前面讨论的向前差分格式（1.4）当网比时稳定，当时不稳定。这就
意味着给定空间步长以后，时间步长必须足够小，才能保证稳定。而向
后差分格式（1.6）和Grank-Nicholson格式（1.8）则对任何网比都是稳
+=+ ，==0。求出，在由取，可利用，解出，。如此下去，即可逐 层算出所有，。
如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格 式。并视为的近似值。
直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。但 是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。
1.2.3 Grank-Nicholson法 将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分 格式称之为六点对称格式，也称为Grank-Nicholson格式：
由于第层值可以通过第层值直接得到，如此的格式称为显 格式。并视为的近似值。
若记 ，， 则显格式可写成向量形式 其中 若记 那末截断误差 （1.5） ==。 其中是矩形，中某一点。 事实上，+
=+ = ==。 这里
故，从而
（2） 向后差分格式
， ==0
其中 ，。取为网比，则进一步有 +=+
按层计算：首先，取，则利用初值和边值==0，来确定出第一 层的，，即求解方程组：
表示-网格边界点的集合。
表示定义在网点处的待求近似解，，。
注意到在节点处的微商和差商之间的下列关系（）： 可得到以下几种最简差分格式
（1） 向前差分格式
， ==0 其中，。取为网比，则进一步有
=+++ 此差分格式是按层计算：首先，令，得到
=+++ 于是，利用初值和边值==0，可算出第一层的，。再由取，可 利用和==0算出，。如此下去，即可逐层算出所有（，）。
， ==0 进一步， +=++
按层计算：首先，取，则利用初值和边值==0，来确定出第一 层的，，即求解方程组：
+=++ ，==0。求出，在由,取，可利用，解出，。如此下去，即可逐 层算出所有，。 若记 那末截断误差 （1.7） =。
注意：
= 又
两式相加 而
+
故有
。
（四）Richardson格式 （1.10） +
（2.2）
因此，按初值稳定应该意味着。这就导致如下定义：
假设，我们称差分格式（2.1）按初值稳定，如果存在正常数和，使
得以下不等式成立：
（2.2）
，
这里是上的某一个范数，例如
类似地，假设，我们称差分格式（2.1）按右端稳定，如果存在正常数
和，使得以下不等式成立：
（2.2）
，
可以证明，差分格式若按初值稳定，则一定按右端稳定。因此，这
定的，时间步长可以取得大一些，从而提高运算效率。Richardson格式 则对任意网比都是不稳定的。因此，虽然Richardson格式是个显格式， 截断误差又很小，但是却不可用。
如果某个差分格式的截断误差当和趋于0时随之趋于0，则称这个差 分格式是相容的。可以证明：若差分格式是相容的和稳定的，则它是 收敛的，并且差分解与微分解之间误差的阶等于截断误差的阶。因 此，当网比时，向前差分格式（1.4）有收敛阶。对任何网比，向后差 分格式（1.6）有收敛阶，而Grank-Nicholson格式（1.8）有收敛阶。
3．高维抛物方程差分法
考虑如下二维抛物方程的差分格式。 （3.1） 取空间步长，时间步长。作两族平行与坐标轴的网线，，其中，将矩形 区域分割成个小矩形。记为网格节点上的差分解。
前述各种一维差分格式都可以直接用于以（3.1）为代表的二维以至 更高维的抛物方程。例如，向前差分格式成为 （3.2）
实际计算时，先令，利用已知的等等，对，用（3.2）算出。而由边值 条件，补充得到。下一步，令，利用已知的第1层的差分解类似地算出 第2层的差分解。以此类推，直到。
（31） 这相当于在每一层要解一个线性方程组：
或者稍微整理一下： （32）
如果在时间方向用梯形公式，则类似于（31）得到所谓CrankNicolson格式：
（33）
各种隐格式，例如向后差分格式和Grank-Nicholson格式，也可以类 似地推广用于高维情形。每次计算新的一层差分解时，同样需要求解一 个线性方程组。但是，这个线性方程组不再是三对角的，方程组阶数 为，其中是抛物方程的维数。因此，求解成本大大增加，甚至导致无法 求解。为了克服这一困难，人们提出了各种降维技巧，局部地把高维问 题化成一维问题求解。下面给出的求解二维抛物方程的LOD格式（局部 一维格式）就是其中一例。
(2.1)
其中，和是阶矩阵。我们假定可逆，即（2.1）是唯一可解的。对于显
格式，等于单位矩阵。三层格式可以通过引入新变量化成两层格式。
假设差分解的初始值（其实可以是任一层的值）有误差，以后各层
计算没有误差，让我们来考察初始误差对以后各层的影响。令和分别是
以和为初始值由差分格式（2.1）得到的两组差分解，则满足
进一步
=（+）++2
这是三层显式差分格式。显然截断误差的阶为。为使计算能够 逐层进行，除初值外，还要用到。它可以用其他双层格式提 供。
Richardson格式的矩阵形式为： 其中
我们着重介绍了以上四种差分格式（还可以作出许多逼近 （1.1）（1.3）的差分格式）。
2 稳定性与收敛性
抛物方程的两层差分格式可以统一写成向量形式:
其中系数都是和的已知光滑函数，初值是的已知光滑函数。它的变分方 程为：求使得对每一个固定的，都有，并且
（28） 其中
（29）
（30） 抛物方程有限元法的通常做法是在时间方向用差分法，在空间方向用 有限元法。象在（10）中那样，可以关于变量构造线性有限元空间。令 时间方向步长为。若时间方向用向前差商，空间方向用线性有限元，并 记，则有限元方程为：对，逐层求满足
抛物型方程有限差分法
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1. 简单差分法
考虑一维模型热传导方程
(1.1)
，
其中为常数。是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两
类：
第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函
数，满足方程（1.1）和初始条件：
（1.2）
,
第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函
数，满足方程（1.1）和初始条件：
LOD格式的基本想法是，由第层计算层时，对，依次固定，然后计 算这条直线上各个网点上的近似值；因为这时不变，所以原来的二维微 分方程退化为关于的一维微分方程。接着，当由第层计算层时，则依次 固定。LOD格式可以直接推广到任意维抛物方程。LOD格式对任意网比 都是稳定的，截断误差阶和收敛阶是。
抛物方程有限元法 考虑一维抛物方程 （25） （26） （27）