叶级数有何区别
（1）傅里叶级数的基函数e jk0t , k Z是一组正交基：
e jk10t , e jk20t (k1 k2 )
而小波级数所用的一族函数 ˆ j,k (t) 不一定是正
交基，甚至不一定是一组“基”；
（2）傅里叶级数的基函数是固定的，且分析和重建的
基函数都是 e jk0t（差一负号）；小波级数：分析
b 2j
)db
内积形式
xˆ(t)
23 j / 2 WTx (
j
j,b),ˆ (t b)
2j
Parseபைடு நூலகம்al关系
23 j / 2
j
1
2
[WTx
(
j,
b)],
[ˆ
(
t
b 2j
)]
FT
xˆ(t) 23 j /2 1 [ X ()2 j /2 (2 j )][2 j ˆ (2 j )e jt ]d
a0倍 a0 j
b 这样，对 轴抽样的间隔也可相应地扩大 a0 倍
a : a00 , a01 , a02 , a03 ,
b : a00b0 , a01b0 , a02b0 , a03b0 ,
, 尺度和位移
, 的离散化
a,b (t)
1 a
t
a
b
b ka0jb0
j,k (t)
1 a0j
scales a
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 10 30 60 90 120 ... 150 120
90 60
小波系数的 灰度图，颜 色越深，说 明小波系数 越大
30
10
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 time (or space) b
定理 9.8.1 如果存在常数 A 0, B 0 ，使得
A
(2 j ) 2 B
j
则
A
x
2
j
1 2j
WTx ( j,b) 2 B
x2
如果 ˆ (t) 满足 (2 j )ˆ (2 j ) 1
j
则
b x(t)
j
1 2j
WTx
(
j, b) ˆ j,b (t)
23 j /2 WTx ( j, b)ˆ (2 j (t b))db j
(t)
ˆ (t)
xˆ(t)
21/ 2 (t / 2) WTx (1, b)
23/ 2ˆ (t / 2)
2 j / 2 (t / 2 j ) WTx ( j, b) 23 j / 2ˆ (t / 2 j )
x(t) 的重建可由下式实现：
xˆ(t) 23 j / 2
j
WTx
(
j,
b)ˆ
(
t
x(t
)
j,k
(t
)dt
离散栅格上
的小波变换 又称
离散小波变
t 换，但
仍然是连续 的，实际计 算还有困难
离散 a, b 平面
ln2 a j3
j2
j 1
j0 kb0
由该图可看出小波分析的“变焦距”作用， 即在不同的尺度下（也即不同的频率范围内），
对时域的分析点数是不相同的。 越大，a对应
中心频率越低，时间轴上分析的点数就越少， 即时域分辨率越差，反之，分析点数越多，时 域分辨率越好。
接上例。长度 a 1~ 3 之间变换，变换
不大，小波系数的区别也不明显。
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 1.2 1.4 1.6 1.8 ... 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 time (or space) b
1
0
-1 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
20
0
-20 0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
原始信号
a小，得到 高频成分
a大，得到 低频成分
a=128
例9.7使.2用信号“noissin”，对其作CWT时分 别取 a 10,30,60,90,120,150
j
2
xˆ(t) 23 j /2 1 [ X ()2 j /2 (2 j )][2 j ˆ (2 j )e jt ]d
j
2
1
X ()[ (2 j )ˆ (2 j )]e jtd
2
j
显然，如果
(2 j )ˆ (2 j ) 1
j
重建条件
则
xˆ(t) 1 X ()e jtd
信息 冗余
a,b (t)
1 (t b)
aa
a, b, t 都是连续的
WTx (a,b)
x(t
)
a,b
(t
)dt
x(t),
a,b
(t
)
正变换
x(t) 1
C
a2
0
WTx (a,b) a,b (t)dadb
反变换
() 2
C 0
d
容许条件
二、尺度离散化后的离散小波变换
一般： a a0j , a0 0, j Z
的 x(t) L2 (R) ，若存在常数 0 A B ，满足
A x 2 x,n 2 B x 2
n
则 n 构成一个标架
（2）若 A B ，则称 n 为紧标架， 若 A B 1 ，则 n 构成一正交基；
（3）定义标架算子 S 为
Sx x, n n g
n
x
S 1g
S 1
t
ka0jb0 a0j
1
a0j
a0 jt kb0
,
j,k Z
如果令 a0 2
二进制小波
j,k (t)
1 2j
t 2j
kb0
,
j,k Z
再令
b0 1
归一化处理
j,k (t)
1 2j
t 2j
k
2 j
2
2 j t k
,
j,k Z
WTx ( j, k)
三、尺度和位移都离散化后的小波变换
a a0j , j Z
b kb0 , k Z
a0 , b0 的选择要保证
能由WTx ( j, k) 恢复x(t)
j1,k (t) j,k (t)
a
a j1 0
增加
a0倍 a a0j
0 a j1
0
0 a0 j
中心 频率 下降
a0倍
a j1
0
带宽 下降
0 2j
( j1)0
0 2 j1
带宽
j
2j
j1
2 j1
为保证在相邻尺度下，小波频域窗相连，取
0 3
通过对小波的调制， 很容易做到
[(j )0 j , (j )0 j ]
[( ) j1 0 j1 , ( ) j1 0 j1 ] [2 j , 2 j1 ] [2 j1 , 2 j2 ]
WTx ( j, k)
x(t
)
j,k
(t)dt
d j (k)
x(t)
d j (k )ˆ j,k (t)
j0 k
离散小波 变换(DWT)
小波级数 小波系数
傅里叶 级数
x(t) X (k)e jk0t ０＝２ T
k
X
(k0
)
1 T
T / 2 x(t)e jk0t dt
T / 2
小波级数和傅里
取： a0 2 a 2 j
j,b (t)
1 2
j
(t
b 2j )
半离散化 二进小波
b,t 仍然
是连续的
WTx ( j,b)
1
2j
x(t
)
(
t
b 2j
)dt
二进小
波变换
在二进制小波的情况下，信息的冗余肯定
比连续小波的情况下得到减轻，但能否由二进
制小波变换重建出原信号 x(t)
从对信号作频域分析的角度，我们希望当 a 由 2 j 变成 2 j1 时， j,b (t) 和 j1,b (t) 在频域对 应的分析窗
所以上式又可写为：
WTx (a,b)
1 ak
k 1 x(k ) ( t b)dt
k
a
1
x(k )[
k
1
(
t
b
)dt
k ( t b)dt]
ak
a
a
该式可看作是
x(k) (t b)
a
x(t) (t b)
a
前面卷积到 k 1 ，后面 到 k，然 后相减。
MATLAB中的“cwt”即是按此思路计算一个信 号的
n
x,
n
n
x, S 1 n n x, n S 1 n
n
n
let ˆn S 1 n
x x, n ˆn
n
则 ˆn 也构成一个标架，标架界分别为 B1, A1 ；
B1 x 2 x,ˆn 2 A1 x 2
[(j )0 j , (j )0 j ]
[( ) j1 0 j1 , ( ) j1 0 j1 ]
能够 首尾 相连
这样，当 j ~ 时，各个尺度下的小波的
频带可以覆盖整个频率轴，以实现信号的重建。
尺度
小波
a 20
(t)
a 2j
( t )
2j