高中数学必修三第三章《概率》单元测试题(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列事件中，随机事件的个数为( )①在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4℃时结冰.A.1B.2C.3D.42.抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”.已知P(A)=P(B)=，则“出现1点或2点”的概率为( )A. B. C. D.【延伸探究】若本题条件不变，则“出现的点数大于2”的概率为.3.甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是( )A. B. C. D.4.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有二个红球5.先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3，则( )A.P1=P2<P3B.P1<P2<P3C.P1<P2=P3D.P3=P2<P16.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )7.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A. B. C. D.【一题多解】所有的基本事件有10种，而甲、乙都不被录用的情况只有(丙丁戊)一种，故甲或乙被录用的概率为1-=.8.在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为( )A. B. C. D.9.在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )A.1-B.1-C.1-D.1-10.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( )A.恰有2件一等品B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品D.都不是一等品11.记集合A={(x，y)|x2+y2≤16}和集合B={(x，y)|x+y-4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2.若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2的概率为( )A. B. C. D.12.某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间[0，20) [20，40) [40，60) [60，80) [80，100) (分钟)人数25 50 15 5 5公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘市时间t(分钟)的关系是y=200+40，其中表示不超过的最大整数.以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为( )A.0.5B.0.7C.0.8D.0.9二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得为红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)= .(结果用最简分数表示)14.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是.15.将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球.其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于.16.两人相约在0时到1时之间相遇，早到者应等迟到者20分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，且在0时到1时之间的任何时刻相遇是等概率的，问两人相遇的概率为.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率.(1)所得的三位数大于400.(2)所得的三位数是偶数.18.(12分)某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：(1)求年降水量在100～200(mm)范围内的概率.(2)求年降水量在150～300(mm)范围内的概率.19.(12分)已知集合M={(x，y)|x∈[0，2]，y∈[-1，1]}(1)若x，y∈Z，求x+y≥0的概率.(2)若x，y∈R，求x+y≥0的概率.20.(12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如表(单位：人)(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率.(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.21.(12分)甲、乙两人相约于下午1：00～2：00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的.设在下午1：00～2：00之间该车站有四班公共汽车开出，开车时间分别是1：15，1：30，1：45，2：00.求他们在下述情况下乘同一班车的概率：(1)约定见车就乘.(2)约定最多等一班车.22.(12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值.(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.高中数学必修三第三章《概率》单元测试题参考答案(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列事件中，随机事件的个数为( )①在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4℃时结冰.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.①在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4℃时结冰是不可能事件.2.抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”.已知P(A)=P(B)=，则“出现1点或2点”的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.因为A，B为互斥事件，故采用概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+(B)=+=.【延伸探究】若本题条件不变，则“出现的点数大于2”的概率为.【解析】A，B为互斥事件，故采用概率的加法公式得P(A∪B)=，所以出现的点数大于2的概率为1-P(A∪B)=.答案：3.甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是( )A. B. C. D.【解析】选D.基本事件总数Ω={甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲}.“甲、乙两人站在一起”的可能结果有“甲乙丙”“丙甲乙”“乙甲丙”“丙乙甲”4种.所以甲、乙两人站在一起的概率P==.4.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有二个红球【解析】选D.根据题意，从8个球中任取3个球包括事件事件5红3白一 3 0二 2 1三 1 2四0 3对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个事件互斥而不对立.5.先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3，则( )A.P1=P2<P3B.P1<P2<P3C.P1<P2=P3D.P3=P2<P1【解题指南】列出先后抛掷两枚骰子出现的点数的所有的基本事件个数，再分别求出点数之和是12，11，10的基本事件个数，进而求出点数之和是12，11，10的概率P1，P2，P3，即可得到它们的大小关系.【解析】选B.先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共36种，其中点数之和是12的有1种，故P1=；点数之和是11的有2种，故P2=；点数之和是10的有3种，故P3=，故P1<P2<P3，故选B.6.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )【解题指南】增加中奖机会应选择概率高的对应的游戏盘.【解析】选A.P(A)=，P(B)=，P(C)=，P(D)=，所以P(A)>P(C)=P(D)>P(B).7.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A. B. C. D.【解题指南】根据条件可用列举法列出所有基本事件和甲或乙被录用的基本事件，采用古典概型求概率.【解析】选D.所有被录用的情况有(甲乙丙)，(甲乙丁)，(甲乙戊)，(甲丙丁)，(甲丙戊)，(甲丁戊)，(乙丙丁)，(乙丙戊)，(乙丁戊)，(丙丁戊)共10种，其中甲或乙被录用的基本事件有9种，故概率P=.【一题多解】所有的基本事件有10种，而甲、乙都不被录用的情况只有(丙丁戊)一种，故甲或乙被录用的概率为1-=.8.在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由于区间[1，6]的长度是6-1=5，由2x∈[2，4]，则x∈[1，2]，长度为2-1=1，故在区间[1，6]上随机取一实数，则该实数使得2x∈[2，4]的概率P=.9.(2015·东营高一检测)在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )A.1-B.1-C.1-D.1-【解析】选B.若使函数有零点，必须Δ=(2a)2-4(-b2+π2)≥0，即a2+b2≥π2.在坐标轴上将a，b的取值范围标出，如图所示.当a，b满足函数有零点时，以(a，b)为坐标的点位于正方形内、圆外的部分(如阴影部分所示)，于是所求的概率为1-=1-.10.(2015·石家庄高一检测)在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( )A.恰有2件一等品B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品D.都不是一等品【解析】选C.将3件一等品编号为1，2，3；2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为P1=，恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3).故恰有2件一等品的概率为P2=，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3=1-P2=1-=.11.记集合A={(x，y)|x2+y2≤16}和集合B={(x，y)|x+y-4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2.若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2的概率为( )A. B. C. D.【解析】选A.区域Ω1为圆心在原点，半径为4的圆，区域Ω2为等腰直角三角形，两腰长为4，所以P===.12.某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间(分钟)[0，20) [20，40) [40，60) [60，80) [80，100) 人数25 50 15 5 5公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘市时间t(分钟)的关系是y=200+40，其中表示不超过的最大整数.以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为( )A.0.5B.0.7C.0.8D.0.9【解析】选D.当0≤t<60时，y≤300.记事件“公司1人每月用于路途补贴不超过300元”为事件A.则P(A)=++=0.9.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得为红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)= .(结果用最简分数表示)【解析】由互斥事件概率公式得P(A∪B)=+=.答案：14.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是.【解析】从长度为2，3，4，5的四条线段中任意取出3条共有4种不同的取法，其中可构成三角形的有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)三种，故所求概率P=.答案：15.将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球.其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于.【解析】甲、乙两人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(9，7)，(9，8)，(9，9)，共81个.由不等式a-2b+10>0得2b<a+10，于是，当b=1，2，3，4，5时，每种情形a可取1，2，…，9中每个值，使不等式成立，则共有45种；当b=6时，a可取3，4…，9中每个值，有7种；当b=7时，a可取5，6，7，8，9中每个值，有5种；当b=8时，a可取7，8，9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种.于是，所求事件的概率为=.答案：16.两人相约在0时到1时之间相遇，早到者应等迟到者20分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，且在0时到1时之间的任何时刻相遇是等概率的，问两人相遇的概率为. 【解析】假设两人分别在x时与y时到达，依题意：|x-y|≤才能相遇.显然到达时间的全部可能结果均匀分布在如图的单位正方形I内，而相遇现象，则发生在图中阴影区域G中，由几何概型的概率公式：P===.所以，两人相遇的可能性为.答案：三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率.(1)所得的三位数大于400.(2)所得的三位数是偶数.【解析】1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数.(1)大于400的三位数的个数为4，所以P==.(2)三位数为偶数的有156，516，共2个，所以所求的概率为P==.18.(12分)某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：年降水量100～150 150～200 200～250 250～300 (单位：mm)概率0.12 0.25 0.16 0.14(1)求年降水量在100～200(mm)范围内的概率.(2)求年降水量在150～300(mm)范围内的概率.【解析】记这个地区的年降水量在100～150(mm)，150～200(mm)，200～250(mm)，250～300(mm)范围内分别为事件A，B，C，D.这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有(1)年降水量在100～200(mm)范围内的概率是P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37.(2)年降水量在150～300(mm)范围内的概率是P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55.19.(12分)已知集合M={(x，y)|x∈[0，2]，y∈[-1，1]}(1)若x，y∈Z，求x+y≥0的概率.(2)若x，y∈R，求x+y≥0的概率.【解析】(1)设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[-1，1]，即y=-1，0，1.则基本事件有：(0，-1)，(0，0)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)，(2，-1)，(2，0)，(2，1)共9个.其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，所以P(A)=.故x，y∈Z，x+y≥0的概率为.(2)设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，因为x∈[0，2]，y∈[-1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分.所以P(B)====，故x，y∈R，x+y≥0的概率为.20.(12分)(2015·山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如表(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团8 5未参加演讲社团 2 30(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率.(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.【解题指南】将符合要求的基本事件一一列出.【解析】(1)记“该同学至少参加上述一个社团为事件A”，则P(A)==.所以该同学至少参加上述一个社团的概率为.(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有基本事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)共15个，其中A1被选中且B1未被选中的有(A1，B2)，(A1，B3)共2个，所以A1被选中且B1未被选中的概率为P=.21.(12分)甲、乙两人相约于下午1：00～2：00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的.设在下午1：00～2：00之间该车站有四班公共汽车开出，开车时间分别是1：15，1：30，1：45，2：00.求他们在下述情况下乘同一班车的概率：(1)约定见车就乘.(2)约定最多等一班车.【解题指南】本题是几何概型.解题关键是充分理解题意，画出示意图，明确总的基本事件和符合条件的基本事件构成的空间，然后利用几何概型概率计算公式计算求解即可.【解析】设甲、乙到站的时间分别是x，y，则1≤x≤2，1≤y≤2.试验区域D为点(x，y)所形成的正方形，以16个小方格表示，示意图如图a所示.(1)如图b所示，约定见车就乘的事件所表示的区域如图b中4个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为=.(2)如图c所示，约定最多等一班车的事件所示的区域如图c中的10个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为=.22.(12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值.(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.【解析】(1)由题意可知：=，解得n=2.(2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个.所以P(A)==.②记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2>4”，(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所构成的区域B={(x，y)|x2+y2>4，(x，y)∈Ω}，所以P(B)===1-.。