第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。

8、四阶行列式abcdb a dc cd a b d c b a------= ；解：原式=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+--+--+-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-+-+=++--+++-+=++--+++-+=++--+++-+=------2222222222222222222222222222222222222211///0///0///0///1///1a ab ac ab a ad ac ad a d ab ac cd a ad bd ad a a cd ac ab c ad ac bc a d cd ac cd c ad bd bc a a abbdab a bc ac ad b d ab bd cd a bc bd adb a cd bd abc bc ac bc bd cd bd cd c bc bd bc b a a d ab cd ac bd ab cd a c ad bc ac bd ad bc a b a a a d b a cd c abd b a cd a a c d abcc a bd d a bc a ab a a a d b a cdc a bd b a cd a a c d a bc c a bd d a bc a a b ad a c a b a abcdb a dc cd a b a d a c a b a ()22222222242222222222222222222)()()()(0)(0001d c b a d c b a a d c b a d a d c b a c a d c b a b a a+++=+++++++++++++++++++=9、若b a ,为实数，则当a = 且b = 时，010100=---abb a；解：)(1010022b a ab ba abb a+-=--=---所以当a = 0且b = 0时，行列式的值为0； 10、排列n n i i i i 121- 可经2)1(-n n 次对换后变为排列121i i i i n n -二、计算题：1、D 5=1701902010024101195120031124601193027540031102751017740132110112210321011322211313211-=-=------=--------=--------=----- 2、D n =)1)(1()1)(1(0000000)(000000)(0000000000000----⨯-----+------=-------=n n n n nn xz y x y x xz y y y x z x y x xz y x y x xz y y y x y x y x x z y x x z y x y x x z y y y y x xz zzy x z z y y x z y y y x21)2)(2(1)()()(0000)()(-------+-=-----+-=n n n n n x z y z x D y x x z x z y x xz yz x D y x三、解答题：1、 问μλ,取何值，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解：齐次线性方程组有非零解的充要条件是D=0)1(21121211111λμμλμλμμμλμμμλ-=+-=---++=所以，当0=μ或1=λ时，齐次线性方程组有非零解。

四、证明题：1、证明：0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 证明：左式=96441296441296441296441296441296441296441296441222222222222222222222++++++++++++=++++++++++++++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a d d d d d d dc c c c c c cb b b b b b b a a a a a a a094194194194164164164164194194194194164164164164194294294294264264264264294294294294264264264264222222222222222222222222222222222=++++++++=d c b a d d c c b b a a dd c c b b a a d d d c c c b b b a a a dd c c b b a a d dd c c c b b b a a a dd d c c c b b b a a a d d d d c c c c b b b b a a a a2、 证明：θθθθθθsin )1sin(cos 211cos 21111cos 211cos 2+=n证明：用数学归纳法：当n=1时，左边=θcos 2，右边=θθθcos 2sin /2sin =，所以等式成立； 当n=2时，左边=1cos 42-θ，右边=1cos 42cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin sin 3sin 22-=+=+=θθθθθθθθθθ， 所以n=2时等式成立；设等式在n=n 及n=n-1时均成立，即θθθθsin )1sin(,sin sin 1+==-n D n D n n 当n=n+1时：-==++nn n D θθθθθθθθθcos 211cos 2111cos 211cos 2cos 2cos 211cos 21111cos 211cos 211θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθsin )1)1sin((sin cos 2sin sin 2cos sin cos cos sin 2sin )1cos 2(sin sin )sin cos cos (sin cos 2sin sin sin )1sin(cos 2cos 2cos 211cos 21111cos 211cos 2cos 2cos 211cos 2111cos 2101211++=+=+-=-+=-+=-=-=--n n n n n n n n n n D D D n n n n n得证。

3、用数学归纳法证明：∏≤<≤-----+++==ni j j in n nn n nn nn n n nnn x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x D 12132122322212232221321)()(1111证明：n=2时，))((111212212222212x x x x x x x x D -+=-==，成立；设∏≤<≤-----+++==ni j j in n nn n n n n n n n nnn x xx x x xxxxxx x x x x x x x x x x D 12132122322212232221321)()(1111成立，当n=n+1时，∏∏∏∏∏+≤<≤++≤<≤+≤<≤++≤<-++----+---+++≤<+-++-++++------++-+++++++----+-++++=-+-++++-=++++-=----------------==111211211213211111111111331122212232221223221321112121111121111112121212313212212121323122211331*********112111131211113121122322213211)()(])()()[()(1111)()()()()(1)()()(0)()()(0)()()(0)()()(0111111111n i j j in n n i j j in i j j in n n i in n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n i in n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x xx x x x x xx x xx x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D五、设n 阶行列式nnD n 00103010021321=，求第一行各元素的代数余子式之和n A A A 11211+++解：!2!2!1!!])2()!3()[1()!2()!1(])1()!2([)!1()!1(1)2)(3())2())(1(()1(10010301002111110100003000021111)1(0010301002111113211111111211n n n n n n n n A n n n n n n n A n n n n nA n nA n n n n n n A A A A n n n n n n n n nn n +-------==-+---+----=-+--+--=+--=+-------=-+--==+++=----+--+第二章： 一、填空题：1、设A 为n 阶方阵，A *为其伴随矩阵，3/1det =A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-*11541det A A = ； 解：()()3)1(||)1()det(54det ||154det 1541det 111111*1n n A A A A A A A A A -=-=-=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-------2、设3阶方阵A O ≠，B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35342531t ，且AB=O ，则t= ；解：0||0||||||,=∴==∴=B B A AB O AB416405186050912===---++t t t t3、已知E A =3，则=-1A ； 解：2123A A EAA A =∴==-4、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=008050200A 的逆矩阵A -1= ；解：A 矩阵只有副对角线有元素，所以：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-002/105/108/1001A5、设4阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3112522100110012A ，则A 的逆矩阵A -1= ； 解：将A 分块：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=------111111Y ZXY O X Y ZO X A 其中：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=------13935242153315221111112111111ZX Y X X⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=∴-21139533524002100111A6、若n 阶矩阵A 满足方程0322=++E A A ，则A -1= ； 解：原等式为：E A A 322-=+E EA A=-+32 321-+=∴-E A A7、设A 为三阶矩阵，且|A|=1，|2A -1+3A *|= ； 解：**1||/A A A A==-3131*15||5|5||32|===+∴---A A A A 或：323*3**15||5||5|5||32|====+∴-A A A A A8、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400010003A ，则A n = ；解：A 为对角阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n nnA 400010003 二、设A 、B 均为n 阶方阵，且B=B 2，A=E+B ，证明A 可逆，并求其逆。