《线性代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）x x x x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x（5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a bb a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c ba （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111--3． 用定义计算行列式：（1）41067050330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 10011001101---. 4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：（1）123112101 (2)158********---- （3）3610285140 （4）6555655562.计算行列式（1）2341341241231234（2）121140351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a ab aba -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbf de cd bdae acab ---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a --- （5）xa a ax a aa x（6）ab ba b a ba0000000000习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）0113352063410201-- （3）222111c b a c b a （4）3351110243152113------， （5）n n n n n b a a a a a b a a a a D ++=+ 212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a ab ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++(3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。

2．已知010322131203122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--X求矩阵X 。

3．计算下列矩阵（1）[]231312⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡， （2）[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡231312 ，（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡973412100010001 （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22013121013143113412，（5）[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2311123124．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111111111A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=212131121B求（1）AB ―3B ； （2）AB ―BA ； （3）（A ―B ）（A +B ）；（4）A 2―B 25．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011213112A设 f （x ）=x 2―2x ―1，求f （A ）。

6．如果)(21E B A +=，证明A 2=A 的充要条件是B 2=E 。

7．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=020213121A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=137325751B (1)计算行列式|(2A ―B )T +B |的值.(2)求行列式|A 3―A |. 8.证明：(ABC )T =C T B T A T .习 题 2.3用分块矩阵的乘法计算下列各题1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=101012100012000001000021A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1112312110201010001000001B 求AB .2. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ββαα200000000002A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ββαα20000000002B 求ABA .习 题 2.51.用||*1A A A =-求矩阵的逆矩阵(1),⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 其中ad ―bc ≠0; (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100210321A(3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=113111321A (3) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0031020100A 2.用矩阵的初等变换求逆矩阵(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=213541702A (2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1000210032107531(3)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1111111111111111 (4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1210232112201023 3.设A k =0,其中A 为方阵,k 为大于1的某个正整数,证明(E-A )-1=E +A +A 2+…+A k-1.4.解下列矩阵方程(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12643152X (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--412011111011220111X(3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021102341010100001100001010X5.若A 为非退化矩阵,并且AB=BA ,试证： A -1B=BA -1。

习 题 2.61.求下列矩阵的秩(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---443112112013 (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------815073*********(3)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14011313021512012211 (4)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11010011000011000011001012.问能否适当选取矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=k A 24293633121中的k 的值,使(1) r (A )=1,(2) r (A )=2,(3) r (A )=3.3.试证明：)()(B r A r B O O A r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡.习 题 2.71.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=y x A 4321,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5231v u B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2312t w C ,且A+B=C ,求x ，y ，u ，v ，w ，t 。

2．计算（1）301001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ；（2）n⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010011 （n >0）3.求逆矩阵:(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡323513123 (2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----121023*********3 4.求矩阵的秩:(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---443112112013; (2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---140113130215120122115.已知矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A(1)设AX-2A +5E =0,求X.(2)设AX=A +2X ,求X .6.已知AP=PB ,其中 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100210321,100000001P B ,求A 与A 100. 7.设A 为3阶方阵,A*为A 的伴随矩阵,A T 为A 的转置矩阵,A -1为A 的逆矩阵,若行列式|A|=4,(1)求行列式|)*3()21(|1A A T --的值. (2)求行列式|)*21(|A .8.设A 是n 阶方阵,E 是n 阶单位矩阵,A +E 是可逆矩阵,且f (A )=(E -A )(E +A )-1,求f (f (A )). 9.证明222222222222222220000000d c b a d c b a d c b a d c b a ab cd b a d c cda bd c b a ++++++++++++=------10.设A 为n 阶满秩方阵(n ≥2),A *为A 的伴随矩阵,求证(A *)*=|A | n －2A .第3章线性方程组习 题 3.11、判断下列方程组是否有解，若有解，用高斯消元法求出一般解。