2019-2020学年江苏省常州高中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共18小题，共90.0分）1. A ={x|x ≥−1}，B ={x|x <3}，则A ∪B = ______ ．2. 已知函数f(x)={x 2+2x(x ≥0)−x 2+2x(x <0)，不等式f(x)>3的解集为______ ． 3. 函数f(x)=log 2(−3x 2+2x +1)的定义域为______．4. 函数y =3−2x1+2x 的值域是______．5. 已知幂函数f (x )=x a 的图象经过点(2,√2)，则f (4)=_________．6. 已知，则这三个数从小到大．．．．排列为___________． 7. 已知函数则f(1)=________．8. 若函数f(x)=ln x −x +2在区间(k,k +1)(k ∈N ∗)内有一个零点，则k 的值为________．9. 已知函数f(x)={x 2−2x ⋯x <0−x 2−2x ⋯x ≥0，若f(3−a 2)<f(2a)，则实数a 的取值范围是________． 10. 函数f(x)={a x ,x ≥0(3−a)x +1,x <0为区间(−∞,+∞)上的单调增函数，则实数a 的取值范围为______ ．11. 设奇函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数，且f(2)=0，则不等式f(−x)−f(x)2x ≥0的解集为______ ．12. 设函数f(x)={x,x <a,x 2,x ≥a,若f(2)=4，则a 的取值范围是__________． 13. 设函数f(x)=e x −e −x +1(e 为自然对数的底数).若f(a)+f(a −2)<2，则实数a 的取值范围是_________14. 已知函数f(x)={|log 3x|, 0<x <3,−x +4, x >3,若a <b <c ，且f(a)=f(b)=f(c)，则(ab +2)c 的取值范围是________．15. 若不等式2x 2−2ax +1≥0对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______．16. 设偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)≤f(1)的x 的取值范围是______ ．17. 若函数f(x)={−(x +3)(x −1),x ≤a,2x −2,x >a.恰有1个零点，则实数a 的取值范围是_________． 18. 设定义域为R 的函数f(x)={1x ,x >0−x 2−2x,x ≤0，若关于x 的方程2f 2(x)+2af(x)+1=0有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______ ．二、解答题（本大题共7小题，共90.0分）19.已知全集U=R，集合A={x|x2−11x+18<0}，B={x|−2≤x≤5}．(1)求A∩B；B∪(∁U A)；(2)已知集合C={x|a≤x≤a+2}，若C∩∁U=C，求实数a的取值范围．20.求值(1)log2(√3+2)+log2(2−√3)；(2)(214) 12−(−18)0−(338) −23+(1.5)−2+√(1−√2)2．21.已知二次函数y=f(x)的对称轴为x=1，且f(0)=6，f(−1)=12．(1)求f(x)的解析式；(2)若函数f(x)的定义域为[m,m+1]，f(x)的值域为[12,22]，求m的值．22.已知lgM+lgN=2lg(M−2N)，求log√2MN的值．23.设函数是奇函数，函数g(x)=log4(4x−2)．(1)求实数m的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；,2)恒成立，求实数a的取值范围．(3)若不等式g(log2(2a+1))≤f(x)对x∈[2324.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2+2x．(1)写出函数f(x)在x∈R的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−2ax+2(x∈[1,2])，求函数g(x)的最小值．)<0，25.已知函数y=f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0,+∞)时是增函数，若f(−1)=0，f(a−12(1)求f(1)的值；(2)求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：R解析：解：∵A ={x|x ≥−1}，B ={x|x <3}，∴A ∪B =R ，故答案为：R由A 与B ，求出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.答案：(1,+∞)解析：解：∵函数f(x)={x 2+2x(x ≥0)−x 2+2x(x <0)，不等式f(x)>3，即x 2+2x >3，且x ≥0， 求得它的解集为x >1，故答案为：(1,+∞)．由题意可得x 2+2x >3，且x ≥0，由此求得它的解集．本题主要考查一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．3.答案：(−13,1)解析：解：由−3x 2+2x +1>0，得3x 2−2x −1<0，解得：−13<x <1．∴函数f(x)=log 2(−3x 2+2x +1)的定义域为(−13,1)．故答案为：(−13,1)．由对数式的真数大于0求解一元二次不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题． 4.答案：(−1,3)解析：解：y =3−2x 1+2x =−1+41+2x ；∵2x >0；∴1+2x >1，0<11+2x <1；∴−1<−1+41+2x <3；∴原函数的值域为(−1,3)．故答案为：(−1,3)．分离常数即可得出y=−1+41+2x ，根据2x>0即可求出−1+41+2x的范围，即求出原函数的值域．考查函数值域的定义及求法，分离常数法的运用，以及不等式的性质，指数函数的值域．5.答案：2解析：【分析】本题考查了幂函数的解析式及求值，属于基础题．设幂函数的解析式为y=xα，把点(2,√2)代入函数的解析式求得α的值，即可得到函数的解析式，再求f(4)即可．【解答】解：∵幂函数f(x)=xα的图象过点(2,√2)，∴2a=√2，解得α=12，∴f(4)=412=2．故答案为2．6.答案：c<a<b解析：【分析】本题考查指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了比较大小，属于中档题．【解答】解：，0<a=0.32=0.09<1，b=20.3>20=1，，可得c<a<b．故答案为c<a<b．7.答案：4解析：【分析】本题考查分段函数的求值，解题的时候注意分段函数各段划分的定义区间，指数与对数的运算．【解答】解：由．故答案为4．8.答案：3解析：【分析】本题重点考查零点存在定理的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．根据函数解析式，可得f(3)>0,f(4)<0，利用零点存在定理，可求m的值．【解答】解：∵函数f(x)=lnx−x+2<0，f(4)=ln4−2=ln4e2∴函数f(x)=lnx−x+2有一个零点所在的区间为 (3,4)∴k的值为3故答案为3 ．9.答案：(−3,1)解析：【分析】本题主要考查分段函数的单调性、二次函数的单调性、一元二次不等式的解法．判断函数的单调性，再解不等式．【解答】解：当x≥0时，f(x)=−x2−2x是减函数，最小值为0，当x<0时，f(x)=x2−2x是减函数，且f(x)>0，所以f(x)在R上是减函数，所以f(3−a2)<f(2a)等价于3−a2>2a，解得−3<a<1，所以不等式的解集是(−3,1)．故答案为(−3,1)．10.答案：(1,3)解析：解：由于函数f(x)={a x ,x ≥0(3−a)x +1,x <0为区间(−∞,+∞)上的单调增函数， 故有{a >13−a >030≥(3−a)×0+1，解得1<a <3， 故答案为(1,3)．由题意可得{a >13−a >030≥(3−a)×0+1，由此求得a 的范围． 本题主要考查函数的单调性，求得{a >13−a >030≥(3−a)×0+1，是解题的关键，属于中档题． 11.答案：[−2,0)∪(0,2]解析：解：∵奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，又f(2)=0，∴函数f(x)在(−∞,0)上为增函数，且f(−2)=−f(2)=0，∴函数f(x)的图象如图， 则不等式不等式f(−x)−f(x)2x ≥0等价为−2f(x)2x =−f(x)x ≥0， 即f(x)x ≤0，等价为x >0时，f(x)≤0，此时0<x ≤2．当x <0时，f(x)≥0，此时−2≤x <0，即不等式的解集是：[−2,0)∪(0,2]．故答案为：[−2,0)∪(0,2]．根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化即可．本题主要考查不等式的解法，根据函数奇偶性和单调性的性质作出函数的草图是解决本题的关键． 12.答案：(−∞,2]解析：【分析】本题考查分段函数，分类讨论a 与2的大小关系，结合已知解析式求解即可．【解答】解： 由已知，若a >2，则f(2)=2≠4，所以不符合题意;若a ≤2，则f(2)=22=4，符合题意．故答案为(−∞,2]．13.答案：(−∞,1)解析：【分析】本题考查函数的奇偶性．单调性的综合应用，关键是分析函数g(x)=f(x)−1的奇偶性与单调性，属中档题．根据题意，令g(x)=f(x)−1=e x−e−x，分析可得g(x)为奇函数且为增函数，对f(a)+f(a−2)< 2变形分析可得g(a)<g(2−a)，结合g(x)的单调性分析可得a<2−a，即2a<2，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，令g(x)=f(x)−1=e x−e−x，有g(−x)=f(−x)−1=e−x−e x=−g(x)，则g(x)为奇函数，对于g(x)=e x−e−x，y=e x为增函数，y=e−x为减函数，则g(x)=e x−e−x为增函数，且g(0)=e0−e0=0，f(a)+f(a−2)<2⇒f(a)−1<−f(a−2)+1⇒f(a)−1<−[f(a−2)−1]⇒g(a)<g(2−a)，又由函数g(x)为增函数，则有a<2−a，即2a<2解可得：a<1，即实数x的取值范围为(−∞,1)．故答案为(−∞,1)．14.答案：(27,81)解析：【分析】本题考查分段函数的运用，考查数形结合的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．先画出图象，再根据条件即可求出其范围，利用f(a)=f(b)=f(c)，可得−log3a=log3b=−c+4，由此通过指数函数的单调性，可确定(ab+2)c的取值范围．【解答】解：由a<b<c，根据已知画出函数图象：∵f(a)=f(b)=f(c)，∴−log3a=log3b=−c+4，∴log3(ab)=0，0<−c+4<1，解得ab=1，3<c<4，∴(ab+2)c=3c∈(27,81)．故答案为：(27,81)．15.答案：[−√2,√2]解析：解：不等式2x2−2ax+1≥0对一切实数x都成立，则△=4a2−4×2×1≤0，解得−√2≤a≤√2，∴实数a的取值范围是[−√2,√2].故答案为：[−√2,√2].利用判别式△≤0，即可求得实数a的取值范围．本题考查了二元一次不等式恒成立问题，是基础题．16.答案：[0,1]解析：解：f(x)为偶函数；∴由f(2x−1)≤f(1)得，f(|2x−1|)≤f(1)；又f(x)在[0,+∞)上单调递增；∴|2x−1|≤1；解得0≤x≤1；∴x的取值范围是[0,1]．故答案为：[0,1]．由f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递增，便可由f(2x−1)≤f(1)得出|2x−1|≤1，解该绝对值不等式便可得出x的取值范围．考查偶函数的定义，增函数的定义，根据函数单调性解不等式的方法，以及绝对值不等式的解法．17.答案：(−∞,−3)解析：【分析】本题考查函数的零点分布问题，由零点个数确定参数取值范围．可结合函数图象考虑．分析两个函数y=−(x+3)(x−1)(x∈R)和y=2x−2(x∈R)的零点，前一个函数有两个零点−3和1，后一个函数只有一个零点1，1是公共的零点，因此可确定f(x)只有一个零点，只能为1．【解答】解：y=−(x+3)(x−1)(x∈R)有两个零点−3和1，y=2x−2(x∈R)只有一个零点1，因此函数f(x)恰有1个零点，从函数f(x)的解析式来看，只能是1，∴a<−3．故答案为(−∞,−3)．18.答案：(−32,−√2)解析：【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．作函数f(x)={1x,x>0−x2−2x,x≤0的图象，结合图象可知方程2x2+2ax+1=0有2个不同的且在(0,1)上的实数根，从而解得．【解答】解：作函数f(x)={1x,x>0−x2−2x,x≤0的图象如下，又∵方程2f 2(x)+2af(x)+1=0有6个不同的实数根，∴方程2x 2+2ax +1=0有2个不同的且在(0,1)上的实数根，∴{ Δ=4a 2−2×4×1>01>02+2a +1>00<−a 2<1； 解得，−32<a <−√2；故答案为：(−32,−√2). 19.答案：解：(1)集合A ={x|x 2−11x +18<0}={x|2<x <9}，…(1分)全集U =R ，则∁U A ={x|x ≤2或x ≥9}；…(2分)又B ={x|−2≤x ≤5}，则A ∩B ={x|2<x ≤5}；…(3分)∴B ∪(∁U A)={x|x ≤5或x ≥9}；…(5分)(2)集合C ={x|a ≤x ≤a +2}，B ={x|−2≤x ≤5}，则：∁U B ={x|x <−2或x >5}，…(6分)∵C ∩∁U B =C ，∴C ⊆∁U B ，…(7分)∴需满足：a +2<−2或a >5，…(9分)解得：a <−4或a >5，所以实数a 的取值范围是(−∞,−4)∪(5,+∞).…(10分)解析：(1)化简集合A ，根据补集与并集和交集的定义计算即可；(2)根据题意，利用集合的定义与运算性质，列不等式组求出a 的取值范围．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．20.答案：解：(1)原式=log 2[22−(√3)2]=log 21=0；(2)原式=(32)2×12−1−(32)3×(−23)+(23)−1×(−2)+√2−1=32−1−49+49+√2−1=√2−12．解析：(1)利用对数的运算性质即可得出；(2)利用指数幂的运算性质即可得出．本题考查了指数幂与对数的运算性质，属于基础题．21.答案：解：(1)因为函数f(x)为二次函数，所以设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，由已知有{−b 2a =1f(0)=c =6f(−1)=a −b +c =12，解得{a =2b =−4c =6, 所以f(x)=2x 2−4x +6;(2)因为f(x)在[m,m +1]的值域为[12,22]，且f(1)=4，所以1∉[m,m +1]，所以m >1或m <0，当m >1时，f(x)在[m,m +1]单调递增，所以由{f(m)=2m 2−4m +6=12f(m +1)=2(m +1)2−4(m +1)+6=22, 解得m =3；当m <0时，f(x)在[m,m +1]单调递减，所以由{f(m)=2m 2−4m +6=22f(m +1)=2(m +1)2−4(m +1)+6=12, 解得m =−2，综上知，m =3或m =−2．解析：本题考查二次函数的性质，解析式的求法以及函数的值域求法．属于中档题．(1)设出二次函数，利用已知条件列出方程组即可求出系数，即可求解．(2)求出对称轴的函数值，判断对称轴是否在区间[m,m +1]，然后分类讨论单调区间求解即可． 22.答案：解：∵lgM +lgN =2lg(M −2N)，∴MN =(M −2N)2，且M >2N >0．解得M N =4．∴log √2M N =log √24=4．解析：由lgM +lgN =2lg(M −2N)，可得MN =(M −2N)2，且M >2N >0.解得M N 即可得出． 本题考查了对数运算法则、一元二次方程的解法，属于基础题． 23.答案：解：(1)f (x )=log 4(2−mx )−log 4(2−x )，∵函数f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)恒成立，即，即log4[(2+mx)(2−mx)]=log4[(2+x)(2−x)]恒成立．∵y=log4x在定义域上单调递增，∴4−m2x2=4−x2，即(m2−1)x2=0恒成立，∴m=±1.当m=1时，f(x)的定义域为(−∞,2)，不关于原点对称，舍去．当m=−1时，f(x)=log42+x2−x为奇函数，符合题意．∴m=−1.(2)由(1)得f(x)=log42+x2−x，f(x)在其定义域(−2,2)上单调递增．证明如下：设任意−2<x1<x2<2，则有：2+x1 2−x1−2+x22−x2=4(x1−x2)(2−x1)(2−x2)，∵−2<x1<x2<2，∴2−x1>0，2−x2>0，x1−x2<0，∴4(x1−x2)(2−x1)(2−x2)<0，∴0<2+x12−x1<2+x22−x2，∵y=log4x在(0,+∞)上单调递增，∴log42+x12−x1<log42+x22−x2，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)在(−2,2)上单调递增.(3)由(2)知：当x∈[23,2)时，，由不等式g(log2(2a+1))≤f(x)对x∈[23,2)恒成立，得g(log2(2a+1))≤log42，∵g (x )=log 4(4x −2)，，，∴{2a +1>02<(2a +1)2≤4∴√2<2a +1≤2，解得√2−12<a ≤12． ∴实数a 的取值范围(√2−12,12]．解析：本题考查了函数的性质，函数的单调性、对数函数及其性质、函数恒成立、函数的奇偶性等知识，属于中档题．(1)利用奇函数的定义求出m 的值，注意定义域必须关于原点对称；(2)利用函数的单调性的定义以及对数函数的性质进行证明；(3)遇到恒成立的问题，经常转化为求最值的问题，从而得出关于a 的不等式组，求解即可． 24.答案：解：( 1)当x <0时，−x >0，∵函数f(x)是偶函数，故f(−x)=f(x)，且当x ≥0时，f(x)=x 2+2x ．所以f(x)=f(−x)=(−x)2+2(−x)=x 2−2x ，所以f(x)={x 2+2x,x ≥0x 2−2x,x <0． (2)∵g(x)=f(x)−2ax +2=x 2+2(1−a)x +2的图象开口朝上且以直线x =a −1为对称轴， 又∵x ∈[1,2]，当a −1≤1时，g(x)在[1,2]上为增函数，故当x =1时，g(x)取最小值5−2a ，当1<a −1≤2时，g(x)在[1,a −1]上为减函数，在[a −1,2]上为增函数，故当x =a −1时，g(x)取最小值−a 2+2a +1，当a −1>2时，g(x)在[1,2]上为减函数，故当x =2时，g(x)取最小值10−4a ，综上：函数g(x)的最小值为{5−2a,a ≤2−a 2+2a +2,2<a ≤310−4a,a >3．解析：(1)根据函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(−x)=f(x)，且当x ≥0时f(x)=x 2+2x.可求出x <0时函数f(x)的解析式，综合可得函数f(x)的解析式(2)根据(1)可得函数g(x)的解析式，结合二次函数的图象和性质，对a 进行分类讨论，进而可得函数g(x)的最小值的表达式．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数解析式的求法，二次函数在定区间上的最值问题，是二次函数图象与性质与奇偶性的综合考查，难度不大，属于基础题．25.答案：解：(1)因为函数y =f(x)(x ≠0)是奇函数，∴f(−1)=−f(1)=0即f(1)=0；(2)∵当x ∈(0,+∞)时f(x)是增函数，∴f(a −12)<0可化为{f(a −12)<f(1)a−12>0或{f(a −12)<f(−1)a−12<0， 即0<a −12<1或a −12<−1，解得12<a <32或a <−12．解析：(1)利用奇函数的定义，求f(1)的值；(2)利用函数单调性的定义，得出具体不等式，即可求实数a 的取值范围．本题考查奇函数的定义，考查函数单调性的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。