诚信应考 考出水平 考出风格浙江大学城市学院2009— 2010学年第 一学期期末考试试卷《 概率统计A 》开课单位： 计算分院 ；考试形式： 闭卷； 考试时间：2010年 1 月24日； 所需时间： 120 分钟 题序 一 二 三 总 分 得分 评卷人一． 选择题 (本大题共__10__题，每题2分共__20 分)1、已知()0.87.0)(,8.0)(===B A P B P A P ，，则下列结论正确的是（B ）)(A 事件B A 和互斥 )(B 事件B A 和相互独立 )(C )()()(B P A P B A P += )(D B A ⊂2、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF X F -=为某一随机变量的分布函数，在下列各组数值中应取（ A ）)(A 5/2,5/3-==b a )(B 3/2,3/2==b a)(C 2/3,2/-1==b a )(D 2/3,2/1-==b a3、设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,随着σ的增大，概率()σμ<-X P 满足（ C ）)(A 单调增大 )(B 单调减少)(C 保持不变 )(D 增减不定4、设),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他,01,1),(22y x y x f π，则X 和Y 为（ C ）的随机变量)(A 独立且同分布 )(B 独立但不同分布 )(C 不独立但同分布 )(D 不独立 且不同分布得分 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名：__________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线……………………………………………………… 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线………………………………………………………5、某型号的收音机晶体三极管的寿命X （单位 ：小时）的概率密度函数为21000,1000()0,x f x x⎧>⎪=⎨⎪⎩其他装有5只这种三极管的收音机在使用的前1500小时内正好有两只需要更换的概率是（ C ）)(A 1/3 )(B 40/143)(C 80/243 )(D 2/36、设()4,()1,0.6,XY D X D Y ρ===则=-)23(Y X D （ D ）)(A 40 )(B 34 )(C 17.6 )(D 25.67、设X ~),(2σμN ，)(~λπY ，则下列选项中 不正确的是（ B ）)(A λμ+=+)(Y X E )(B λσ+=+2)(Y X D)(C λλμσ+++=+22222)(Y X E )(D λσμ=+=)(,)(222Y D X E8、设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p =（ B ）时，成功次数的 方差最大。

)(A 2/3 )(B 1/2)(C 3/4 )(D 1/49、设正态总体),(~2σμN X ，其中2σ未知，样本容量n 和置信度α-1均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间长度L （ D ）。

)(A 变短 )(B 变长)(C 不变 )(D 不确定10、设50021,,X X X 是独立同分布的随机变量，且),1(~p B X i ，500,,2,1 =i ，则下列不正确的为（ C ）)(A ),500(~5001i p B X i ∑=)(B ∑=5001i i X 近似服从正态分布)(C )()()(5001i a b b Xa P iΦ-Φ≈<<∑=)(D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ≈<<∑=)1(500500)1(500500)(5001i p p p a p p p b b X a P i二、 填空题 (本大题共__10_空格，每个空格2分共___20____分)1、 每次试验成功的概率为p ,进行独立重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为()63491C p p - （列式表示）2、设,5/9)1(),,3(~),,2(~=≥X P p B Y p B X 若则 ()=≥1Y P 19/27 。

3、设设随机变量X 和Y 相互独立，且具有同一分布律如下X 0 1p1/21/2Y 0 1 p1/21/2则随机变量),max(Y X Z =的分布律为z 01 p1/43/4。

随机变量),min(Y X V =的分布律为V 01 p3/41/4。

随机变量XY U =的分布律为 =U 01 p3/41/4。

4、设随机变量Y 服从参数为1=λ的指数分布，随机变量⎪⎩⎪⎨⎧>≤=kY k Y X k ,1,02,1=k得分则)(21X X E += 12e e --+。

5、设总体),(~2σμN X ，2σμ和均未知，n X X X ,,,21 为从总体X 抽取的一个样本，则2σμ和的矩估计量分别为 1A 和21A A -。

6、单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ已知时，检验μ的统计量为0/X nμσ-。

7、设随机变量[]2,0~U X ，则随机变量2X Y =在[]4,0内的概率密度函数为14y二． 综合题 (本大题共__6__题，共60 分)1、设连续型随机变量X 的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤=其他,021),2(10,)(x x k x kx x f ，求：（1）常数k ；（2）X 的分布函数。

（10分）(1) 由()12121kxdx k x dx +-=⎰⎰得 1k = -------------- 4分（2）当0x <时 ()()0xF x f x dx -∞==⎰------------- 1分当01x ≤≤时 201()()2xxF x f x dx xdx x -∞===⎰⎰ ----------- 2分当12x <≤时 ()12011()()2212xx F x f x dx xdx x dx x x -∞==+-=--⎰⎰⎰ ------------ 2分当2x >时 ()121()()21xF x f x dx xdx x dx -∞==+-=⎰⎰⎰ --------------- 1分得分2、设),(Y X 的联合概率密度函数为,01,0(,),0,A y x yf x y ≤≤≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩其他， （1）求常数A ；（2）求关于X 及Y 的边缘密度；（3） )(Y X E + （4）),(Y X Cov （16分） （1）由(,)1Df x y d σ=⎰⎰得 2A = ---------4分（2）()121,012,01()(,)0,0,x X x x dy x f x f x y dy +∞-∞⎧⎧-≤≤≤≤⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 ----------2分02y,012,01()(,)0,0,yY y dx y f y f x y dx +∞-∞⎧≤≤≤≤⎧⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 -------------- 2分 （3） ()31)12)(10=-=⎰dx x x X E -------------- 1分1202()23E Y y dy ==⎰ ------------ 1分13231)()()(=+=+=+Y E X E Y X E ----------2分（4）1101()24x E XY dx xydy ==⎰⎰ ------------ 2分361323141)()()(),(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ---------------- 2分3、已知总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,21)(x e x f xσσ，0>σ为未知常数，n X X X ,,,21 为从总体X 抽取的一个样本，n x x x ,,,21 是它的样本观测值。

(1) 求未知参数σ的极大似然估计量σˆ。

(2) 判断σˆ是否为σ的无偏估计。

(12分)（1） 似然函数 11()2nii x nL eσσσ=-∑⎛⎫= ⎪⎝⎭------------------ 4分 取对数 11ln ()ln 2nii x L n σσσ=⎛⎫=-⎪⎝⎭∑令12ln ()0ni i x d L nd σσσσ==-+=∑ 得ˆx σ= -------------- 4分从而极大似然估计量为 ˆX σ= ---------------- 2分（2） 由0ˆ()()()22xx E E X E X e dx σσσσσ-+∞====≠⎰得σˆ不为σ的无偏估计 --------------- 2分4、设一批产品的次品率为0.1,从中有放回地取出100件，设X 为100件中次品的件数。

(1) 写出X 的分布律；(2) 用中心极限定理求X 与10之差的绝对值小于3的概率的近似值. （10分）（备用数据：5.0)0(,8413.0)1(,99.0)3263.2(,9332.0)1.5=Φ=Φ=Φ=Φ（）（1）~(100,0.1)X B -------- 3分（2）由中心极限定理得~(10,9)X N （近似） --------3分则(103)(713)(1)(1)2(1)10.6826P X P X -<=<<=Φ-Φ-=Φ-=----4分5、已知某种苹果的重量),(~2σμN X ，且平均重g 220，施用某种农药后，随机取10个苹果，得样本均值g x 2.227=，样本标准差g s 3.9=，给定显著性水平0.05=α，问这种农药对苹果的重量是否有显著影响？（，检验220:0=μH 220):1≠μH （ 8分）备用数据： 0301.2)9(025.0=t 6883.1)9(05.0=t 0281.2)10(025.0=t6896.1)10(05.0=t645.105.0=u 96.1025.0=u3.16210=取检验统计量0/X t s nμ-=--------2分0H 的拒绝域为0.025(9)t t >--------2分由题意计算得0/X t s nμ-=的观测值为227.22202.4489.3/10-=-------2分落入拒绝域，故认为此农药对苹果的重量有显著影响。