任课教师 专业名称 学生姓名 学号
密 封 线
X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷（A 卷）
}
分
分
108
求：（1）常数k ，（2）P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解：（1）由()1)6(1
)(20
4
=--=⎰⎰⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-dx dy y x k dxdy xy f 即
解得24
1
=
k 2分 （2）P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--⎰⎰=21
4分
(3) P(X<1.5)=()16
13
)6241(5.1040=--⎰⎰dx dy y x 7分
（4）P(X+4≤Y )
=()9
821616241)6241(2202040=+-=--⎰⎰⎰-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2
N X ，)4,0(~2
N Y ，且X 与Y 相互独立，设
2
3Y
X Z +=
(1) 求)(Z E ，)(Z D ； (2) 求XZ ρ 解：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23)(Y X E Z E )(21)(3
1
y E X E +=
021131⨯+⨯=3
1
= 2分 =⎪⎭⎫
⎝⎛+=23)(Y X D Z D ()()2
2
22)23(23⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-Y X E Y X E EZ Z E
=22
2)2
3()439(
EY EX Y XY X E +-++ =
9
1
4392
2
-++EY EXEY EX 又因为()10192
2
=+=+=EX DX EX
16016)(22=+=+=EY DY EY
所以DZ=
59
1
416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ),(21
31Y X X Cov +=
=EX(
23Y X +)-EXE(23Y
X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21
)(31213122 233
1
⨯==3 则XZ ρ=
()DZ
DX
Z X Cov ,=
5
5
5
33=
10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它,
00,20,163),(2x
y x xy y x f
（1） 求X 的数学期望EX 和方差DX
（2） 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解：（1）dx x xf X E X )()(⎰
∞
+∞
-=
()()xyd dy y x f x f x x ⎰
⎰==∞
+∞
-20
16
3
,y dx x xf X E X )()(⎰
∞
+∞
-=
=
分
27
12)163(2
2
=⎰
⎰dx xydy x
x
()
()分
549
3
)712(33)16
3
(22
2
22
2
22
=
-====EX EX -EX =⎰⎰⎰∞
+∞
-DX dx xydy x dx x f x DX x X
()
()分
72)16
3
(),()()(24
02====⎰⎰
⎰⎰⎰+∞∞
-+∞
∞
-∞
+∞
-dy xydx y dy
dx y x yf dy y yf Y E y
Y
()()5
24
4323)163(),()(4034
02
2
22
2
=-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰
+∞
∞
-+∞∞
-∞
+∞-dy y y dy xydx y dy
dx y x f y dy y f y EY y Y
DY=()分
105
4452422
=
-=EY -EY
6. 设随机变量X 的概率密度为)
1(1
)(2x x f X +=
π，求随机变量
31X Y -=的概率密度函数。

()()(
)(
)
()()
(
)
()()()()
()()()()(
)()
()()
分
分
解：10111311311315)1(111)1(16
2
3
2
2
33
3
3
3y y y f y y y f dy
y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-=
--=----==
∴
--=-<P -=-≥P =≤-P =≤P =π。