圆锥曲线单元测试卷
时间：120分钟，满分150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. ★若抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离是10，则P 点的坐标是（ ）
A ．()9,6
B ．()9,6±
C ．()6,9
D ．()6,9±
2. ★★点(),P m n 在圆221x y +=上运动，则点(),2Q m n mn +运动的轨迹方程是（ ）
A ．y C ．(x 3.★★★
率为
24. ,A B 两点，且
A ． 5. ★★设k A C 6. A ．(0,7. ★★双曲线
22
1916
x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离等于（ ）
A B ．3 C ．4 D ．2
8. ★★★椭圆
22
1369
x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y -=B ．24x y +=C ．2314x y +=D ．28x y +=
9. ★★★已知动点(),P x y 满足34x y =+，则P 点的轨迹是（ ）
A
10. A 11. OAB ∆A 12. A (0)x > 13. 14.M 点15. ★★若椭圆的两个焦点为()11,0F -，()21,0F ，长轴长为10，则椭圆的方程为 。

16. ★★★给出如下四个命题：①方程2
2
210x y x +-+=表示的图形是圆；②椭圆椭圆
22
132
x y +=的离
心率e =；③抛物线2
2x y =的准线的方程是18x =-；④双曲线
2214925y x -=-的渐近线方程是5
7
y x =±。

其中所有不正确命题的序号是 。

三、解答题：本大题6小题，共70分
17. ★★★（本题满分10分）已知抛物线22y px =，过焦点F 的弦的倾斜角为θ()0θ≠且与抛物线交
于,A B ，求弦长AB 。

18.
19. 2为钝角时，求P
20. B 为
21.★★★★★（本题满分12分）(本小题满分12分)直线1y ax =+与双曲线2
2
31x y -=相交于点,A B ，问是否存在这样的实数a ，使得,A B 关于直线2y x =对称？如果存在，求出实数a ，如果不存在，请说明理由。

22. ★★★★★(本小题满分14分)已知,A B 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一条弦，()2,1M 是AB 的中
点，以M 为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB 交于()4,1N -，（1）设双曲线的离心率为e ，试将e 表示为椭圆的半长轴长的函数；（2）当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程；（3）求出椭圆的长轴长的取值范围。

12
n mn +，解
出,m n 3001n y =-，而2
，故00m y n x ==
4．解析：2,AB BF 56k
7．解析：焦点为()5,0F ，渐近线为4
3
y x =
，距离4d ==。

故选C 。

8．解析：利用点差法可求出直线的斜率为1
2
k =-
，再用直线的点斜式求出方程即可。

选D 。

9．解析：由
34x y =+
1
4
=
，即点(),P x y 到点()1,2的距离和到直线340x y +=的距离之比为
1
2
，故选A 。

10．解析：方程22
125x y m m
+=--表示双曲线，所以()()250m m --<，解得225m m -<<>或。

故
选C 。

11
4
ABO p
S ∆=
12
为()'
0,O y 13))()0
211k k k >-+≠，所以23k <<或)
()3,4。

143=，∴点F 点的坐
标为()0,y M 的纵坐标为4
y =±。

15．解析：∵1C =，210A =，∴5A =，∴2
2
2
24b a c =-=，所以椭圆的方程为
22
12524
x y +=。

16．解析：①②④。

①表示的图形是一个点()1,0；②3
e =
；④渐近线的方程为75y x =±。

17．解析：设AB 的方程为c o t 2
p
x y θ
=+代入22y p x =，得222cot 0y p y p θ--=。

设1122
(,),(,)A x y B x
y ，则224cot AB p =()2
2221cot sin p p θθ
=+=。

18．解析：证明：设AB 为抛物线22(0)y px p =>上的任一条焦点弦，C 为AB 的中点，过,,A B C 分别向准线l 作垂线，垂足分别为,,M N D ，由抛物线的定义知,AF AM BF BN ==，于是
2r A B
=
切线。

19．解析定理得
12cos F PF ∠(2
0023x <-，∴
(0
x +1=得2
0y =入解得0x <20．解析：设4π⎫+⎪⎭。

∴当4
π
θ=
21．解析：22(,)x y )是,A B 的中点，则12120022x x y y x y ++=
=，则M 在直线2y x =上，则002y x =，故000023
3322
x x a y y ===，而12a =-且3
2
a =是不可能的，所以假设不成立。

即不存在。

22．解析：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=，122y y -=，∵,A B 在椭圆上，∴22
112
22
2
2222
11x y a b
x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：
()()()()121212122
2
0x x x x y y y y a b -+-++=，∴2
122122AB
MN y y b k
k x x a
-==-=-11124+=
=--，
N 作2）∵
e a =，联立⎧⎨⎩>2a <，
)(4
2,4+。