2014年新课标2卷理科数学高考真题及答案掌门1对1教育 高考真题2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N⋂=( )A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i=+，则12z z =（ ）A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6，则a ⋅b =( )A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( ) A. 5 5C. 2D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A. 1727 B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （）A. 4B. 5C. 6D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A. 0B. 1C. 2D. 39.设x,y满足约束条件70310350x yx yx y+-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y=-的最大值为（）A. 10B. 8C. 3D. 2 10.设F 为抛物线C:23yx=的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A. 33B. 93C. 6332D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C. 30D.212.设函数()3xf x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m+<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221xy +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列{}na 满足1a =1，131n na a +=+. （Ⅰ）证明{}12na +是等比数列，并求{}na 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112naa a++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，3，求三棱锥E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份1 2 3 4 5 6 7代号t人均2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9纯收入y（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b ab+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2xx ee x---（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是e O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与e O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交e O 于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线=+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，l y x:32确定D的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数()f x=1(0)++->x x a aa（Ⅰ）证明：()f x≥2；（Ⅱ）若()35f<，求a的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、 选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、填空题（13）12（14）1 （15）()1,3- （16）[]1,1-三、解答题 （17）解： （Ⅰ）由131n n aa +=+得 n 111a3().22n a ++=+又11322a +=，所以12n a⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列。
1322nn a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1231n na =-.因为当1n ≥时，13123nn --≥⨯，所以111.3123nn -≤-⨯ 于是 1-1121111131311-.33232n n na a a+++≤+++=<L L （）所以 123111132na a a a++++<L .(18) 解：（Ⅰ）连结BD 交AC 于点O ，连结EO. 因为ABCD 为矩形，所以Q 为BD 的终点. 又E 为ＰＤ的终点，所以EO//PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB//平面AEC. (Ⅱ)因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以ＡB ，ＡＤ，ＡＰ两两垂直。
如图，以A 为坐标原点，ABu u u r 的方向为x 轴的正方向，AP u u u r为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz ，则()31310,3,0,(0,,).(0,,).2222D E AE =设(,0,0)(0),B m m >则(,3,0),(,3,0)C m AC m =u u u r设1(,,)n x y z =为平面ACE 的法向量， 则110,0.n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r 即30,310.22mx y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 可取13(,1,3).n m=- 又2(1,0,0)n =为平面DAE 的法向量。
由题设121cos(,)2n n =，即 231342m =+，解得 3.2m =因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E-ACD 的高为12。
三棱锥E-ACD 的体积 1131333222V =⨯⨯=（19）解：（Ⅰ）由所给数据计算得1274,72.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.37t y +++==++++++==L7211()t tt =-∑=9+4+1+0+1+4+9=287111()()t tt y y =--∑=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+0×0.1+1×0.5 +2×0.9+3×1.6 =14.71117211()()140.528()t t tt y y btt ==--===-∑∑$，$ 4.30.54 2.3ay bt =-=-⨯=$.所求回归方程为$0.5 2.3y t =+. （Ⅱ） 由（I ）知，b=0.5﹥0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。
将2015年的年份代号t=9带入（I ）中的回归方程，得$0.59 2.3 6.8y =⨯+= 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元. （20） 解：（I ）根据22c a b =-22(,),23b M c b aca=将222b ac =-代入223b ac=，解得1,22c ca a==-（舍去）故C 的离心率为12.（Ⅱ）由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF ∥y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a= ①由15MN F N =得112DFF N=。
设11(,)N x y ，由题意知10y p ，则112()22c x c y --=⎧⎨-=⎩，即113,21x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入C 的方程，得2229114c a b+=。