2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为小学 初中高中 年级 OA.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

10．曲线25+=-x e y 在点)3,0(处的切线方程为 。

11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。

12．在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba。

13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= 。

（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________. 15．（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD 中， 点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f 。

17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率 [25,30 ] 3 0.12 (30,35 ] 5 0.20 (35,40 ] 8 0.32 (40,45 ] n 1 f 1 (45,50 ] n 2 f 2（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；CA FD/gaokao/ 高考真题下载w /gaokao/ 高考真题下载（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率。

18．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，030DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ，交PD 于点E . （1）证明：CF ADF ⊥平面（2）求二面角D AF E --的余弦值。

19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =， (1)求123,,a a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式。

20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程。

21．（本小题满分14分）设函数()f x =其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论函数()f x 在D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）。

A B C D E F P2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案 成本文 6/8/2014１－８：CDBA BADD;８.解：A 中元素为有序数组()12345,,,,x x x x x ，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为1±、仅2个数为1±或仅3个数为1±，所以共有123555222222130C C C ⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=个不同数组；9.(,3)(2,)-∞-+∞; 10.53y x =-+; 11.16; 12.2; 13.50; 14.(1,1); 15.9;11.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，336331016C C P C ⋅==； 16.解：（1）553()sin()121242f A πππ=+=，32A ∴=，A =()f -θ()f θ（2）3()()))442f f +-=+-+=ππθθθθ，3cos )sin cos )]2++-+=θθθθ， 32=θ，cos =θ，又)2,0(πθ∈，sin∴==θ， )43(θπ-f )=-==πθθ．17. 解：（1）127,2n n ==，120.28,0.08f f ==；（2）样本频率分布直方图为（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2， 设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为ξ，则~(4,0.2)B ξ，4(1)1(0)1(10.2)10.40960.5904P P ξξ≥=-==--=-=，所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904．18.（１）PD ⊥平面ABCD ，PD AD ∴⊥，又CD AD ⊥，PD CD D =， AD ∴⊥平面PCD ，/gaokao/ 高考真题下载w /gaokao/ 高考真题下载AD PC ∴⊥，又AF PC ⊥，PC ∴⊥平面ADF ，即CF ADF ⊥平面；（２）设1AB =，则Rt PDC ∆中，1CD =，又DPC ∠=2PC ∴=，PD =，由（１）知CF DF ⊥DF ∴=，AF ==，12CF ∴==，又//FE CD ，14DE CF PD PC ∴==，DE ∴=，同理3344EF CD ==，如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)A E ，3,0)4F ，P ，(0,1,0)C ，设(,,)m x y z =是平面AEF 的法向量，则m AE m EF ⎧⊥⎨⊥⎩，又3(3(0,,0)4AE EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以30304m AE x z m EF y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令4x =，得z =(4,0,3)m =， 由（１）知平面ADF 的一个法向量(,0)PC =， 设二面角D AF E --的平面角为θ，可知θ为锐角，||cos |cos ,|||||m PC m PC m PC ⋅=<>==⋅θ=，即所求．19.解：23420S a =-，3233520S S a a =+=-，又315S =，37a ∴=，234208S a =-=，又212222(27)37S S a a a a =+=-+=-，25a ∴=，112273a S a ==-=， 综上知13a =，25a =，37a =；（２）由（１）猜想21n a n =+，下面用数学归纳法证明． ①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =（1k ≥）时，21k a k =+，则3(21)357(21)(2)2k k S k k k k ++=++++=⨯=+，又21234k k S ka k k +=--，21(2)234k k k ka k k +∴+=--，解得1246k a k +=+， 12(1)1k a k +∴=++，即当1n k =+时，结论成立；由①②知，*,21n n N a n ∀∈=+．20.解：（１）可知c =c a =，3a ∴=，2224b a c =-=，椭圆C 的标准方程为22194x y +=； （２）设两切线为12,l l ，①当1l x ⊥轴或1//l x 轴时，对应2//l x 轴或2l x ⊥轴，可知(3,2)P ±±②当1l 与x 轴不垂直且不平行时，03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22194x y+=， 得2220000(94)18()9()360k x y kx kx y kx ++-+--=，因为直线与椭圆相切，所以0∆=，得222200009()(94)[()4]0y kx k k y kx --+--=，2200364[()4]0k y kx ∴-+--=， 2220000(9)240x k x y k y ∴--+-=所以k 是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的一个根， 同理1k-是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的另一个根，1()k k ∴⋅-=202049y x --，得220013x y +=，其中03x ≠±， 所以点P 的轨迹方程为2213x y +=（3x ≠±），因为(3,2)P ±±满足上式，综上知：点P 的轨迹方程为2213x y +=．21.解：（１）可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，22[(2)3][(2)1]0x x k x x k ∴+++⋅++->， 223x x k ∴++<-或221x x k ++>，2(1)2x k ∴+<--(20)k -->或2(1)2x k +>-(20)k ->，|1|x ∴+<|1|x +>，1∴-<1x <-或1x <-或1x >- 所以函数()f x 的定义域D 为(,1-∞-(1-1-(1)-+∞；（２）22(2)(22)2(22)'()x x k x x f x +++++=-2(21)(22)x x k x ++++=-，由'()0f x >得2(21)(22)0x x k x ++++<，即(111)0x x x +++<，1x ∴<-11x -<<-1x <-11x -<<-，所以函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-，(1,1--，同理递减区间为(11)--，(1)-+∞；（３）由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-，2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0x x k k x x k k ∴++-++++-+=， 22(225)(23)0x x k x x ∴+++⋅+-=，(11(3)(1)0x x x x ∴++⋅+-=，/gaokao/ 高考真题下载w /gaokao/ 高考真题下载1x ∴=-或1x =-或3x =-或1x =，6k <-，1(1,1∴∈--，3(11)-∈--，11--11->- 结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f >的解集为(11--(13)--(1,1-(11--．。