反比例函数
（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
1．函数解析式：（）
2．自变量的取值范围：
3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
4．k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y 轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．
图1 图2
5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个
分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线与双曲线的关系：
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称
（3）反比例函数与一次函数的联系．
（四）实际问题与反比例函数
1．求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．
2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．
三、例题分析
考点1．反比例函数的概念
（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．
A．y=3x B． C．3xy=1 D．
（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．
A．B． C．D．
考点2．图象和性质
（1）已知函数是反比例函数，
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．
②若y随x的增大而减小，那么k=___________．
（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，
则直线不经过的象限是（）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，
则一次函数y=kx+m的图象经过（）．
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．
A．B． C．D．
考点3．函数的增减性
（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．
A．正数B．负数 C．非正数 D．非负数
（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．
A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜
（3）下列四个函数中：①；②；③；④．
y随x的增大而减小的函数有（）．
A．0个 B．1个C．2个D．3个
（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．
注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．
考点4．解析式的确定
（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．
A．正比例函数 B．反比例函数C．一次函数D．不能确定
（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．
（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求
的值．
（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．
①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．
（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：
①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．
②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；
③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
考点5．面积计算
（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．
A．B．C．D．
第（1）题图第（2）题图
（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC
次函数与反比例函数综合
1. 如图，一次函数y x b
=+与反比例函数
k
y
x
=在第一象限的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过点B作y轴的垂线，C为垂足，若
3
2
BCO
S
∆
=，求一次函数和反比例函数的解析式.
2. 如图，一次函数2
y kx
=+的图象与反比例函数
m
y
x
=的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，
PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4，1
2
OC
OA
=．
（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当0
x>时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
3. 已知正比例函数2
y x
=的图象与反比例函数
k
y
x
=的图象有一个交点的纵坐标是2.
（1）求反比例函数的解析式；
y
x
P
B
D
A
O
C
（2）当31x --≤≤时，求反比例函数y 的取值范围.
4. 已知：12y y y =+，1y 与2
x 成正比例，2y 与x 成反比例，且1x =时，3y =；1x =-时，1y =．求12
x =-
时，y 的值．
5. 如图，1P 是反比例函数(0)k
y k x
=>在第一象限图像上的一点，点1A 的坐标为（2，0）．
（1）当点1P 的横坐标逐渐增大时，11POA △的面积将如何变化？
（2）若11POA △与212P A A △均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及2A 点的坐标．
6. 如图，一次函数y x b =+与反比例函数k
y x
=在第一象限的图象交于点B ，且点B 的横坐标为1，过点B 作
y 轴的垂线，C 为垂足，若3
2BCO S ∆=，求一次函数和反比例函数的解析式.
7. 如图，一次函数2y kx =+的图象与反比例函数m
y
x
=
的图象交于点P ，点P 在第一象限．PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，且S △PBD =4，12
OC OA
=．
（1）求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当0x >时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围.
8. 已知正比例函数2y x =的图象与反比例函数k
y
x
=
的图象有一个交点的纵坐标是2. （1）求反比例函数的解析式；
（2）当31x --≤≤时，求反比例函数y 的取值范围.
9. 已知：12y y y =+，1y 与2
x 成正比例，2y 与x 成反比例，且1x =时，3y =；1x =-时，1y =．求12
x =-
时，y 的值．
10. 如图，1P 是反比例函数(0)k
y k x
=
>在第一象限图像上的一点，点1A 的坐标为（2，0）
． （1）当点1P 的横坐标逐渐增大时，11POA △的面积将如何变化？
（2）若11POA △与212P A A △均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及2A 点的坐标．
y x
P
B D A
O C y
O
P 1
P 2
A 2
A 1
y
O
P 1
P 2
A 2
A 1。