绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国考试数学(文)(北京卷)本试卷共5页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或,则AB =(A ){|2<<5}x x (B ){|<45}x x x >或 (C ){|2<<3}x x (D ){|<25}x x x >或 (2)复数12i=2i+- (A )i (B )1+i (C )i - (D )1i -(3)执行如图所示的程序框图,输出的s 值为 (A )8 (B )9 (C )27(D )36(4)下列函数中,在区间(1,1)- 上为减函数的是 (A )11y x=- (B )cos y x = (C )ln(1)y x =+ (D )2x y -= (5)圆(x +1)2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为(A )1 (B )2 (C 2 (D )2 (6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(A )15 (B )25(C )825 (D )925 (7)已知A (2,5),B (4,1).若点P (x ,y )在线段AB 上,则2x −y 的最大值为(A )−1 (B )3 (C )7 (D )8(8)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳(单位:次) 63a7560637270a −1b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则(A )2号学生进入30秒跳绳决赛 (B )5号学生进入30秒跳绳决赛 (C )8号学生进入30秒跳绳决赛 (D )9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分(非选择题共110分)二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)(9)已知向量=(1,3),(3,1)=a b ,则a 与b 夹角的大小为_________. (10)函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. (11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为___________.(12) 已知双曲线22221x y a b-= (a >0,b >0)的一条渐近线为2x +y =0,一个焦点为5 ,0),则a =_______;b =_____________. (13)在△ABC 中,23A π∠=,3,则bc =_________.(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种; ②这三天售出的商品最少有_______种.三、解答题(共6题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)(15)(本小题13分)已知{a n }是等差数列,{b n }是等差数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)设c n = a n + b n ,求数列{c n }的前n 项和.(16)(本小题13分)已知函数f (x )=2sin ωx cos ωx + cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求f (x )的单调递增区间.(17)(本小题13分)某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费,超出w 立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:(I )如果w 为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w 至少定为多少?(II )假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.(18)(本小题14分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,,AB DC DC AC ⊥∥ (I )求证:DC PAC ⊥平面; (II )求证:PAB PAC ⊥平面平面;(III)设点E 为AB 的中点,在棱PB 上是否存在点F ,使得PA CEF ⊥平面?说明理由.(19)(本小题14分)已知椭圆C :22221x y a b+=过点A (2,0),B (0,1)两点.(I )求椭圆C 的方程及离心率;(II )设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积为定值.(20)(本小题13分) 设函数()32.f x x ax bx c =+++(I )求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;(II )设4a b ==,若函数()f x 有三个不同零点,求c 的取值范围;(III )求证:230a b ->是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.—2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)参考答案一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)(1)C (2)A (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) (9)6π (10)2 (11)32(12)1 2 (13)1 (14)16 29 三、解答题(共6小题,共80分) (15)(共13分) 解:(I )等比数列{}n b 的公比32933b q b ===, 所以211b b q==,4327b b q ==. 设等差数列{}n a 的公差为d . 因为111a b ==,14427a b ==, 所以11327d +=,即2d =.所以21n a n =-(1n =,2,3,⋅⋅⋅).(II )由(I )知,21n a n =-,13n n b -=. 因此1213n n n n c a b n -=+=-+.从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213n n n +--=+-2312n n -=+.(16)(共13分)解:(I )因为()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+sin 2cos2x x ωω=+—24x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()f x 的最小正周期22ππωωT ==. 依题意,ππω=,解得1ω=.(II )由(I )知()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ). 由222242k x k πππππ-≤+≤+,得388k x k ππππ-≤≤+. 所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ). (17)(共14分)解:(I )由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水量在区间[]0.5,1,(]1,1.5,(]1.5,2,(]2,2.5,(]2.5,3内的频 率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%. 依题意,w 至少定为3.(II )由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:根据题意,该市居民该月的人均水费估计为:40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯10.5=(元). (18)(共13分)解:(I )因为C P ⊥平面CD AB ,所以C DC P ⊥. 又因为DC C ⊥A , 所以DC ⊥平面C PA .(II )因为//DC AB ,DC C ⊥A , 所以C AB ⊥A .因为C P ⊥平面CD AB , 所以C P ⊥AB .—所以AB ⊥平面C PA .所以平面PAB ⊥平面C PA .(III )棱PB 上存在点F ,使得//PA 平面C F E .证明如下: 取PB 中点F ,连结F E ,C E ,CF . 又因为E 为AB 的中点, 所以F//E PA .又因为PA ⊄平面C F E , 所以//PA 平面C F E .(19)(共14分)解:(I )由题意得,2a =,1b =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. 又223c a b -= 所以离心率32c e a ==. (II )设()00,x y P (00x <,00y <),则220044x y +=.又()2,0A ,()0,1B ,所以, 直线PA 的方程为()0022y y x x =--. 令0x =,得0022y y x M =--,从而002112y y x M BM =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=+. 令0y =,得001x x y N =--,从而00221x x y N AN =-=+-. 所以四边形ABNM 的面积—12S =AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+ 00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=.从而四边形ABNM 的面积为定值. (20)(共13分)解:(I )由()32f x x ax bx c =+++,得()232f x x ax b '=++.因为()0f c =,()0f b '=,所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+. (II )当4a b ==时,()3244f x x x x c =+++,所以()2384f x x x '=++.令()0f x '=,得23840x x ++=,解得2x =-或23x =-. ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下:所以,当0c >且32027c -<时,存在()14,2x ∈--,222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,使得()()()1230f x f x f x ===.由()f x 的单调性知,当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点.—(III )当24120a b ∆=-<时,()2320f x x ax b '=++>,(),x ∈-∞+∞,此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增,所以()f x 不可能有三个不同零点.当24120a b ∆=-=时,()232f x x ax b '=++只有一个零点,记作0x .当()0,x x ∈-∞时,()0f x '>,()f x 在区间()0,x -∞上单调递增; 当()0,x x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 在区间()0,x +∞上单调递增. 所以()f x 不可能有三个不同零点.综上所述,若函数()f x 有三个不同零点,则必有24120a b ∆=->. 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件.当4a b ==,0c =时,230a b ->,()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同 零点, 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件. 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.。