§5.3 平面向量的数量积一、选择题1.若向量a ,b ,c 满足a ∥b 且a ⊥c ,则c ·(a +2b )=( ) A .4 B .3 C .2D .0解析:由a ∥b 及a ⊥c ,得b ⊥c , 则c ·(a +2b )=c ·a +2c ·b =0. 答案:D2.若向量a 与b 不共线,a ·b ≠0,且c =a -⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b ,则向量a 与c 的夹角为( ) A .0 B.π6 C.π3 D.π2解析 ∵a·c =a·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a -⎝⎛⎭⎪⎫a·a a·b b =a·a -⎝⎛⎭⎪⎫a 2a·b a·b =a 2-a 2=0, 又a ≠0,c ≠0,∴a⊥c ,∴〈a ,c 〉=π2,故选D.答案 D3. 设向量a =(1.cos θ)与b =(-1, 2cos θ)垂直,则cos2θ等于 ( )A2 B 12C .0 D.-1 解析 22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=正确的是C. 答案C4.已知|a |=6,|b |=3,a ·b =-12,则向量a 在向量b 方向上的投影是( ). A .-4B .4C .-2D .2解析 设a 与b 的夹角为θ,∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积,而cos θ=a ·b |a ||b |=-23,∴|a |cos θ=6×⎝ ⎛⎭⎪⎫-23=-4.答案 A5.若a ,b ,c 均为单位向量,且a ·b =0,(a -c )·(b -c )≤0,则|a +b -c |的最大值为( ). A.2-1B .1C. 2D .2解析 由已知条件,向量a ,b ,c 都是单位向量可以求出,a 2=1,b 2=1,c 2=1,由a ·b =0,及(a -c )(b -c )≤0,可以知道,(a +b )·c ≥c 2=1,因为|a +b -c |2=a 2+b 2+c 2+2a ·b -2a ·c -2b ·c ,所以有|a +b -c |2=3-2(a ·c +b ·c )≤1, 故|a +b -c |≤1. 答案 B6.已知非零向量a 、b 满足|a |=3|b |,若函数f (x )=13x 3+|a |x 2+2a·b x +1在x ∈R 上有极值,则〈a ,b 〉的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π6B.⎝⎛⎦⎥⎤0,π3 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6,π2D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6,π 解析 ∵f (x )=13x 3+|a |x 2+2a·b x +1在x ∈R 上有极值,∴f ′(x )=0有两不相等的实根,∵f ′(x )=x 2+2|a |x +2a·b ,∴x 2+2|a |x +2a·b =0有两个不相等的实根,∴Δ=4|a |2-8a·b >0,即a·b <12|a |2,∵cos 〈a ,b 〉=a·b|a ||b |,|a |=3|b |,∴cos 〈a ,b 〉<12|a |2|a ||b |=32,∵0≤〈a ,b 〉≤π,∴π6<〈a ,b 〉≤π. 答案 D7.如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是( ).A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→解析 由于P 1P 2→⊥P 1P 5→,故其数量积是0,可排除C ;P 1P 2→与P 1P 6→的夹角是2π3, 故其数量积小于零,可排除D ;设正六边形的边长是a ,则P 1P 2→·P 1P 3→=|P 1P 2→||P 1P 3→|cos 30°=32a 2,P 1P 2→·P 1P 4→=|P 1P 2→||P 1P 4→|cos 60°=a 2.答案 A 二、填空题8.已知向量a ,b 均为单位向量,若它们的夹角是60°,则|a -3b |等于________. 解析 ∵|a -3b |2=a 2-6a ·b +9b 2=10-6×cos60°=7,∴|a -3b |=7. 答案 79.已知向量(3,2)a =-, (31,4)a m m =--,若a b ⊥,则m 的值为 . 解析 ,3(31)(2)(4)0,1a b a b m m m ⊥∴⋅=-+--=∴= 答案 110.已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a +b 与向量k a -b 垂直,则k =________.解析 设a 与b 夹角为θ,由题意知|a |=1,|b |=1,θ≠0且θ≠π.由a +b 与向量k a -b 垂直,得(a +b )·(k a -b )=0,即k |a |2+(k -1)|a ||b |cos θ-|b |2=0,(k -1)(1+cos θ)=0.又1+cos θ≠0,∴k -1=0,k =1. 答案 111.已知e 1,e 2是夹角为2π3的两个单位向量,a =e 1-2e 2,b =k e 1+e 2.若a ·b =0,则实数k 的值为________.解析 由题意知:a ·b =(e 1-2e 2)·(k e 1+e 2)=0,即k e 21+e 1e 2-2k e 1e 2-2e 22=0,即k +cos 2π3-2k cos 2π3-2=0, 化简可求得k =54. 答案5412.在等腰直角三角形ABC 中,D 是斜边BC 的中点,如果AB 的长为2,则(AB +AC )·AD 的值为________.解析:|BC |2=|AB |2+|AC |2=8,|AD |=12|BC |,AB +AC =2AD ,(AB+AC )·AD =2AD ·AD =12|BC |2=4.答案:4 三、解答题13.已知向量a =(1,2),b =(2,-2). (1)设c =4a +b ,求(b ·c )a ; (2)若a +λb 与a 垂直,求λ的值; (3)求向量a 在b 方向上的投影. 解析:(1)∵a =(1,2),b =(2,-2), ∴c =4a +b =(4,8)+(2,-2)=(6,6). ∴b ·c =2×6-2×6=0,∴(b ·c ) a =0a =0. (2) a +λb =(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ), 由于a +λb 与a 垂直,∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ, 向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. ∴|a |cos θ=a ·b |b |=1×2+-22+-2=-222=-22. 14.如图所示,AB →=(6,1),BC →=(x ,y ),CD →=(-2,-3).(1)若BC →∥DA →,求x 与y 之间的关系式;(2)在(1)条件下,若AC →⊥BD →,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.解析 (1)∵AD →=AB →+BC →+CD →=(x +4,y -2),DA →=-AD →=(-x -4,2-y ). 又BC →∥DA →且BC →=(x ,y ),∴x (2-y )-y (-x -4)=0, 即x +2y =0.①(2)由于AC →=AB →+BC →=(x +6,y +1),BD →=BC →+CD →=(x -2,y -3),又AC →⊥BD →,∴AC →·BD →=0.即(x +6)(x -2)+(y +1)(y -3)=0,② 联立①②化简,得y 2-2y -3=0, ∴y =3或y =-1.故当y =3时,x =-6,此时AC →=(0,4),BD →=(-8,0),∴S ABCD =12|AC →|·|BD →|=16;当y =-1时,x =2,此时AC →=(8,0),BD →=(0,-4),∴S ABCD =12|AC →|·|BD →|=16.15.已知平面上三点A ,B ,C 满足|AB →|=3,|BC →|=4,|CA →|=5,求AB →·BC →+BC →·CA→+CA →·AB →的值.解析 由题意知△ABC 为直角三角形,AB →⊥BC →,∴AB →·BC →=0,cos ∠BAC =35,cos ∠BCA =45,∴BC →和CA →夹角的余弦值为-45,CA →和AB →夹角的余弦值为-35,∴AB →·BC →+BC →·CA →+CA →·AB → =20×⎝ ⎛⎭⎪⎫-45+15×⎝ ⎛⎭⎪⎫-35=-25.16.设两向量e 1,e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1,e 2的夹角为60°,若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角,求实数t 的取值范围. 思路分析 转化为(2t e 1+7e 2)·(e 1+t e 2)<0 且2t e 1+7e 2≠λ(e 1+t e 2)(λ<0).解析 由已知得e 21=4,e 22=1,e 1·e 2=2×1×cos 60°=1.∴(2t e 1+7e 2)·(e 1+t e 2)=2t e 21+(2t 2+7)e 1·e 2+7t e 22=2t 2+15t +7.欲使夹角为钝角,需2t 2+15t +7<0. 得-7<t <-12.设2t e 1+7e 2=λ(e 1+t e 2)(λ<0). ∴⎩⎨⎧2t =λ,7=t λ.∴2t 2=7.∴t =-142,此时λ=-14. 即t =-142时,向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为π.∴夹角为钝角时,t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫-7,-142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-142,-12。