平面向量的数量积【知识点精讲】一、平面向量的数量积（1）已知两个非零向量a 和b ，记为OA a OB b ==，，则)0(πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>，并规定[],0,a b π<>∈。

如果a 与b 的夹角是2π，就称a 与b 垂直，记为.a b ⊥（2）cos ,a b a b <>叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即b a ⋅cos ,a b a b <>.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是0.a b ⋅= 两个非零向量a 与b 平行的充要条件是.a b a b ⋅=± 二、平面向量数量积的几何意义数量积a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，即cos a b a b θ⋅=（b 在a 方向上的投影为cos a b b aθ⋅=）；a 在b 方向上的投影为cos .a b a bθ⋅=三、平面向量数量积的重要性质 性质1 cos .e a a e a θ⋅=⋅= 性质2 0.a b a b ⊥⇔⋅=性质3 当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或2.a a =性质4 cos (00)a b a b a bθ⋅=≠≠且性质5 a b a b ⋅≤注：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题。

四、平面向量数量积满足的运算律 （1）a b b a ⋅=⋅（交换律）；（2）()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅（λ为实数）；（3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅（分配律).数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律()()a b c a b c ⋅≠⋅，不可约分a b a c ⋅=⋅不能得到b c =。

五、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量()()1122,,,,a x y b x y =则1212a b x x y y ⋅=+，由此得到：（1）若(),,a x y =则2222a a x y ==+或2a x y =+（2）设()(),,,,2211y x B y x A 则B A ,()();221212y y x x -+-=（3）设()()1122,,,,a x y b x y ==θ是a与b的夹角，则.cos 222221212121y x y x y y x x +++=θ①非零向量,a b ，a b ⊥的充要条件是.02121=+y y x x ②由1cos 222221212121≤+++=y x y x y y x x θ得()()().2222212122121y x y x y y x x ++≤+六、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.b a b a ≤⋅（2）当0a ≠时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0=⋅b a 。

当0a ≠且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c =，当b 是与a 垂直的非零向量，c 是另一与a 垂直的非零向量时，有a b a c ⋅=⋅，但.b c ≠（3）数量积不满足结合律，即()()a b c b c a ⋅≠⋅，这是因为()a b c ⋅是一个与c 共线的向量，而()b c a ⋅是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以()a b c ⋅不一定等于()b c a ⋅。

即凡有数量积的结合律形成的选项，一般都是错误选项。

（4）非零向量夹角为锐角（或钝角），当且仅当0a b ⋅>且()0a b λλ≠>（或0a b ⋅<且()0a b λλ≠<）.【题型归纳】一、平面向量的数量积【例1】（1）在ABC Rt ∆中，，，4900==∠AC C 则=⋅AC AB ( ).16.-A 8.-B 8.C 16.D（2）（2012北京理13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为 ；DC DE ⋅的最大值为 。

（3）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上且满足PM AP 2=，则()PC PB PA +⋅等于（ ）.94.-A 34.-B 8.C 16.D【变式1】如图5-27所示，在平行四边形ABCD 中，BD AP ⊥，垂足为P ，且3=AP ,则=⋅AC AP .【变式2】在ABC ∆中，321===AC BC AB ，，，若G 为ABC ∆的重心，则=⋅AC AG .【例2】如图528-所示，在矩形ABCD 中，AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是 .【变式1】如图530-所示，在ABC ∆中，°120BAC ∠=，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅= .【变式2】如图531-所示，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅= .【变式3】已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，设点,P Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）。

1.2A 1.2B ± 1.2C ± 3.2D -±【例3】已知向量,,a b c 满足0a b c ++=，1,2,2a b c ===，则a b b c a c ⋅+⋅+⋅= .【变式1】在ABC ∆中，若3,4,6AB BC AC ===，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅= .【变式2】已知向量,,a b c 满足0a b c ++=，且a b ⊥，1,2a b ==，则c = .【变式3】已知向量,,a b c 满足0a b c ++=，且(),a b c a b -⊥⊥若1a =，则222a b c ++= .【例4】设,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅=，则()()a c b c -⋅-的最小值为（ ）.2A - 2B .1C - .1D【变式1】已知,a b 是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=,则c 的最大值是（ ）..1A .2B C 2D 【变式2】（2012安徽理14）若平面向量,a b 满足23a b -≤，则,a b 的最小值是 .【例5】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅= .二、平面向量的夹角求夹角，用数量积，由cos a b a b θ⋅=⋅，得21cos a b a bx θ⋅==，进而求得向量,a b 夹角.【例1】已知向量(1,3),(2,0)a b ==-,则a 与b 则的夹角是 .【例2】已知,a b 是非零向量且满足(2),(2)a b a b a b -⊥-⊥，则a 与b 则的夹角是（ ）. .6A π.3B π2.3C π 5.6D π【例3】已知向量,,a b c 满足1,2,,a b c a b c a ===+⊥，则a 与b 则的夹角等于（ ）..30A ︒ .60B ︒ .120C ︒ .90D ︒【变式1】若,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则a 与a b +则的夹角为 .【变式2】若平面向量,αβ满足1,1αβ=≤，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 .【例4】已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为45︒，求使向量a b λ+与a b λ+的夹角为锐角的λ的取值范围.【变式1】设两个向量12,e e ，满足122,1e e ==，1e 与2e 的夹角为3π，若向量1227te e +与12e te +的夹角为钝角，求实数t 的范围.【变式2】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ,有下列四个命题：12:10,3p a b θπ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭；22:1,3p a b θππ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦；3:10,3p a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭；4:1,3p a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦.其中的真命题是（ ）.12.,A p p 13.,B p p23C.,p p24D.,p p【变式3】若向量a 与b 不共线，0a b ⋅≠，且()a ac a b a b⋅=-⋅⋅，则向量a 与c 的夹角为（ ）..0A .6B πC.3πD.2π三、平面向量的模长求模长，用平方，2.a a =【例1】已知5a b ==，向量a 与b 的夹角为3π，求,a b a b +-.【变式1】已知向量,a b 满足1,2a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则_________a b -=.【变式2】已知向量,a b 满足1,2a b ==，2a b -=，则a b +等于（ ）..1A【变式3】在ABC ∆中，已知3,4,60AB BC ABC ==∠=︒，求AC .【例2】已知，向量a 与b 的夹角为120︒，3,13a a b =+=,则b 等于（ ）..5A .4B C.3 D.1【变式1】已知向量,a b 的夹角为45︒，且1,210a a b =-=，则_________b =.【变式2】已知2a b ==，()()22a b a b +⋅-=-则a 与b 的夹角为_________，【变式3】设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =，AB AC AB AC +=-则AM =（ ）.8A .4B C.2 D.1【例3】已知平面向量(),0,αβααβ≠≠，满足1β=，且β与βα-的夹角为120︒，则α的取值范围是_________.【变式1】若,,a b c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的最大值为（ ）.1 .1BD.2【变式2】已知,a b 是单位向量，0a b ⋅=，若向量c 满足1c a b --=，则c 的取值范围是（ ）..1A ⎤⎦.2B ⎤⎦C.1⎡⎤⎣⎦D.2⎡⎤+⎣⎦【例4】在平面上，12,AB AB ⊥121OB OB ==，12AP AB AB =+.若12OP <，则OA 的取值范围是（）..0,2A ⎛⎝⎦.22B ⎛⎝⎦C.2⎛⎝D.2⎛ ⎝【变式1】在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PA PB PC+=（ ）.2A .4B C.5 D.10加强练习：例1：在ABC 中，O 为BC 中点，若1,3,60AB AC A ==∠=，则OA = _____例2：若,,a b c 均为单位向量，且()()0,0a b a c b c ⋅=-⋅-≤，则a b c +-的最大值为（） A. 1 B. 1C. D. 2例3：平面上的向量,MA MB 满足24MA MB +=，且0MA MB ⋅=，若1233MC MA MB =+，则MC 的最小值为___________例4：已知平面向量,αβ满足23αβ-=，且αβ+与2αβ-的夹角为150，则()()32t t R αββ+-∈的最小值是（ ）A.34 B. 33 C. 32D. 3 例5：已知平面向量,OA OB 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且3OA OB ==，若1233OP OA OB =+，则OP 的取值范围是__________例6：已知()2,6,2a b a b a ==⋅-=，R λ∈，则a b λ-的最小值是（ ） A. 4 B. 23 C. 2 D.3例7：已知直角梯形ABCD 中，AD ∥,90,2,1BC ADC AD BC ∠===，P 为腰CD 上的动点，则23PA PB +的最小值为__________例8：如图，在边长为1的正三角形ABC 中，,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足,AE mAB AF n AC ==，其中(),0,1,1m n m n ∈+=，,M N 分别是,EF BC 的中点，则MN 的最小值为（ ）A. 24B. 33C. 34D. 53NMABCEF例9：已知OA 与OB 的夹角为θ，=2OA ，=1OB ，且OP tOA =，1OQ t OB =-（）, PQ 在0t 时取到最小值。