一．方法综述平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青睐，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析．本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧.二．解题策略类型一投影定义法【例1】【2018届河南省中原名校高三上第一次考评】已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·（＋）＝_________．【答案】6【解析】设BC的中点为D，则AD⊥BC，【指点迷津】1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ⋅=，可变形为()cos a b a b θ⋅=⋅或()cos a b b a θ⋅=⋅，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅（记a b λ→为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：a b a b bλ→⋅=即数量积除以被投影向量的模长2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）学科&网（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 【举一反三】已知圆M 为直角三角形ABC 的外接圆，OB 是斜边AC 上的高，且6,22AC OB ==，AO OC <，点P 为线段OA 的中点，若DE 是M 中绕圆心M 运动的一条直径，则PD PE ⋅=_________MCAO BPD EQ【答案】-5【解析】思路：本题的难点在于DE 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解.考虑到DE 为直径，所以延长EP 交圆M 于Q ，即可得DQ QE ⊥，则PD 在PE 上的投影向量为PQ .所求PD PE PE PQ ⋅=-⋅，而由PE PQ ⋅联想到相交弦定理，从而PE PQ AP PC ⋅=⋅.考虑与已知条件联系求出直径AC 上的各段线段长度.由射影定理可得：28AO CO OB ⋅==，且6AO CO AC +==，所以解得2,4AO OC ==，再由P 为OA 的中点可得1,5AP PC ==，所以5PE PQ AP PC ⋅=⋅=，进而5PD PE PE PQ ⋅=-⋅=-答案：5- .学*科网类型二 基底法【例2】【2018届浙江省金华十校4月模拟】已知平面内任意不共线三点，，，则的值为（ ）A. 正数B. 负数C. 0D. 以上说法都有可能【答案】B【指点迷津】1.遇到几何图形中计算某两个向量,a b 数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（,a b 模长，夹角），那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将,a b 两个向量表示出来，进而进行运算.这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法.2.如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了.所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知.常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等. 【举一反三】如图，在ABC 中，120,2,1,BAC AB AC D ∠===是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅=_______________BCAD【答案】83-答案：83AD BC ⋅=-类型三 坐标法【例3】【2018届江苏省苏锡常镇四市高三调研（二）】如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．【答案】.【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q 的坐标，利用已知条件求出P,Q 的坐标，再求出 的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.【指点迷津】常见的可考虑建系的图形：（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形 （2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形 （3）具备特殊角度的图形（30,45,60,120等） 【举一反三】如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，点P 是MD 的中点，若2AB =，1AD =，且60BAD ∠=，则AP CP ⋅=_________【答案】178-【解析】思路：本题抓住60BAD ∠=这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由2AB =，1AD =可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解学科%网 解：以AB 为x 轴，过A 的垂线作为y 轴答案：178-三．强化训练1.【2018届河北省武邑中学一模】是圆上两个动点，，，为线段的中点，则值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用基底表示所求向量，利用向量的数量积化简求解即可．详解：由，，所以•=（）=，又△OAB 为等边三角形，所以=1×1×cos60°=．•==.故选：B ．学科%网2．【2018届湖南省永州市三模】在中，，，，是上一点，且，则等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C3．【2018·宝鸡质检】在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且满足|MN ―→|＝2，则BM ―→·BN ―→的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤32，2 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎣⎡⎭⎫32，2 D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 【答案】C【解析】以等腰直角三角形的直角边BC 为x 轴，BA 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则B (0,0)，直线AC 的方程为x ＋y ＝2.设M (a,2－a )，则0<a <1，N (a ＋1，1－a )，∴BM ―→＝(a,2－a )，BN ―→＝(a ＋1,1－a )，∴BM ―→·BN ―→＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2，∵0<a <1，∴当a ＝12时，BM ―→·BN ―→取得最小值32.又BM ―→·BN ―→<2，故BM ―→·BN ―→的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，2.4．【2018届山东省潍坊市二模】在等腰ABC ∆中， AB AC =， 6BC =，点D 为边BC 的中心，则•AB BD =__________．【答案】9-【解析】分析：根据等腰三角形的性质判断出AD BC ⊥，结合向量的加法运算，可得()2AB BD BD ⋅=-，再根据6BC =，即可求出.5．【2018届滨海新区七所重点学校联考】在平行四边形ABCD 中， 2AB =， 1AD =， 60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，若F 是线段BC 上一动点，则AF FE ⋅的取值范围是________ 【答案】512⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，【解析】根据题意，设()01BF BC λλ=≤≤，则()()AF FE AB BF FC CE ⋅=+⋅+()()112AB AD AD AB λλ⎡⎤=+⋅--⎢⎥⎣⎦()()22111122AB AD AD AB AB AD λλλλ=-⋅+---⋅2212122λλλλλλ=-+---=--- 21324λ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质，可知当1λ=时取得最小值52-，当0λ=时取得最大值1-，故答案是5,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.学*科网 6．【2018届广东省佛山市高三检测（二）】直角中，为中点，在斜边上，若,则__________．【答案】7．【2018届黑龙江省齐齐哈尔市二模】已知平行四边形中,,,点 是中点，,则_________．【答案】13. 【解析】由,得，设，∴，解得．∴.答案：138．【2018届浙江省嘉兴市高三4月模拟】已知，向量满足.当的夹角最大时，________． 【答案】【解析】设，，即，所以，此时，故答案为.9.【2018届河南省南阳市第一中学高三第十四次考】若非零向量，满足，则在方向上的投影为__________． 【答案】-1 【解析】10．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO ―→·BC ―→＝________. 【答案】10【解析】法一：投影法如图，作OD ⊥BC ，垂足为D ，则D 是线段BC 的中点． 作AE ⊥BC ，垂足为E . 则AO ―→在BC ―→的方向上的投影为 |AO ―→|·cos 〈AO ―→，BC ―→〉＝|ED ―→|，所以AO ―→·BC ―→＝|AO ―→|·|BC ―→|·cos 〈AO ―→，BC ―→〉＝|ED ―→|·|BC ―→|.法二：基底法如图，作OD ⊥BC ，垂足为D ，则D 是线段BC 的中点，且OD ―→·BC ―→＝0.所以AO ―→·BC ―→学!科网＝(AB ―→＋BD ―→＋DO ―→)·BC ―→＝AB ―→·BC ―→＋BD ―→·BC ―→＋DO ―→·BC ―→＝AB ―→·BC ―→＋BD ―→·BC ―→＝－BA ―→·BC ―→＋12BC ―→·BC ―→， 在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，由余弦定理，得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－1387. 所以AO ―→·BC ―→＝－BA ―→·BC ―→＋12BC ―→·BC ―→ ＝－|BA ―→|·|BC ―→|cos ∠ABC ＋12|BC ―→|2 ＝－4×7×⎝⎛⎭⎫－1387＋12×(7)2＝10.法三：坐标法如图，作OD⊥BC，垂足为D，则D是线段BC的中点．答案：10。