平面向量的数量积与应用举例专题训练
A组基础题组
1.已知向量a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4),且(2a-5b)⊥c,则实数m=( )
A.-
B.-
C.
D.
2.已知向量a=(1,0),|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d方向上的投影为( )
A. B.- C.1 D.-1
3.向量a,b满足|a+b|=2|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为( )
A.0
B.
C.
D.
4.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记
I1=·,I2=·,I3=·,则( )
A.I1<I2<I3
B.I1<I3<I2
C.I3<I1<I2
D.I2<I1<I3
5.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.正三角形
D.等腰直角三角形
6.已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb垂直,则实数k= .
7.如图所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,则·(-)= .
8.已知平面向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,=,则
||= .
9.已知向量a=(2,-1),b=(1,x).
(1)若a⊥(a+b),求|b|的值;
(2)若a+2b=(4,-7),求向量a与b夹角的大小.
10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
B组提升题组
1.已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( )
A.[3,]
B.[3,5]
C.[3,4]
D.[,5]
2.非零向量m,n的夹角为,且满足|n|=λ|m|(λ>0),向量组x1,x2,x3由一个m和两个n排列而成,向量组
y1,y2,y3由两个m和一个n排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3的所有可能值中的最小值为4|m|2,则λ
= .
3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.
4.在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),||=1,且∠AOC=θ,其中O为坐标原点.
(1)若θ=π,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值;
(2)若θ∈,向量m=,n=(1-cos θ,sin θ-2cos θ),求m·n的最小值及对应的θ的值.
答案精解精析
A组基础题组
1.D 因为2a-5b=2(2,1)-5(1,m)=(-1,2-5m),又(2a-5b)⊥c,所以(2a-5b)·c=0,即
(-1,2-5m)·(2,4)=-2+4(2-5m)=0,解得m=,故选D.
2.D 依题意得|a|=1,a·b=1××cos 45°=1,|d|=-=-·=1,c·d=a2-b2=-1,因此c在d方向上的投影等于·=-1,故选D.
3.B (a-b)·a=0⇒a2=b·a,|a+b|=2|a|⇒a2+b2+2a·b=12a2⇒b2=9a2,所以cos<a,b>=·
·=
·
=.
故选B.
4.C 因为AB=BC,AB⊥BC,∴∠BCO=45°.过B作BE⊥AC于E,则∠EBC=45°.因为AD<DC,所以D、A在BE 所在直线的同侧,从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,
∴∠BOC为锐角.
从而∠AOB为钝角,所以∠DOC为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0.
又OA<OC,OB<OD,故可设=-λ1(λ1>1),=-λ2(λ2>1),
从而I3=·=λ1λ2·=λ1λ2I1,
又λ1λ2>1,I1<0,∴I3<I1<0,∴I3<I1<I2.故选C.
5.A (-)·(+-2)=0,即·(+)=0,∵-=,∴(-)·(+)=0,即||=||,∴△ABC是等腰三角形,故选A.
6.答案±
解析已知a=(1,2),b=(3,4),
若a+kb与a-kb垂直,则(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k2=,所以k=±.
7.答案-
解析由已知得||=,||=,
则·(-)=(+)·=·+·=cos +×=-.
8.答案 2
解析因为=,
所以点D为BC的中点,
所以=(+)=2m-2n,
又因为|m|=,|n|=2,平面向量m,n的夹角为,所以
||=2|m-n|=2-=2-=2.
9.解析(1)由题意得a+b=(3,-1+x).
由a⊥(a+b),可得6+1-x=0,
解得x=7,即b=(1,7),
所以|b|=
(2)a+2b=(4,2x-1)=(4,-7),
故x=-3,所以b=(1,-3),所以cos<a,b>=·==,
因为<a,b>∈[0,π],所以a与b的夹角是.
10.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,
所以-cos x=3sin x.
若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.
于是tan x=-.又x∈[0,π],所以x=.
(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos.
因为x∈[0,π],所以x+∈,
从而-1≤cos≤.
于是,当x+=,即x=0时, f(x)取到最大值3;
当x+=π,即x=时, f(x)取到最小值-2.
B组提升题组
1.B ∵a、b均为单位向量,且a·b=0,
∴设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),
代入|c-4a|+|c-3b|=5,得-+-=5,即(x,y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5,令c 的起点为坐标原点O,则c的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段(如图),
又|c+a|=表示M(-1,0)到线段AB上点的距离,
最小值是点(-1,0)到直线3x+4y-12=0的距离,∴|c+a|min=--=3.
又最大值为|MA|=5,
∴|c+a|的取值范围是[3,5].故选B.
2.答案
解析由题意知,x 1·y1+x2·y2+x3·y3的运算结果有以下两种可能:
①|m|2+m·n+|n|2=|m|2+λ|m|·|m|cos+λ2|m|2=·|m|2;
②m·n+m·n+m·n=3λ|m|·|m|cos=|m|2,
又λ2++1-=λ2-λ+1=-+>0,所以|m|2=4|m|2,即=4,解得λ=.
3.解析(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).
所以|+|=2-|=4
故两条对角线的长分别为2,4.
(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).
由(-t)·=0,
得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,
所以5t=-11,所以t=-.
4.解析(1)设D(t,0)(0≤t≤1),由题易知C-,所以+=-,
所以|+|2=-t+t2+=t2-t+1=-+(0≤t≤1),
所以当t=时,|+|2最小,最小值为.
(2)由题意得C(cos θ,sin θ),m==(cos θ+1,sin θ),
则m·n=1-cos2θ+sin2θ-2sin θcos θ=1-cos 2θ-sin 2θ=1-sin.因为θ∈,所以≤2θ+≤,
所以-≤sin≤1,所以1-≤1-sin≤2,
所以当2θ+=,即θ=时,m·n的最小值为1-.。