第九章 薄板弯曲问题
(1)具有一定的刚度，横向挠度 ； (2) 在中面位移中,w 是主要的，而纵向位 移u,v很小，可以不计；
(3)在内力中，仅由横向剪力 Fs 与横向荷
载q成平衡，纵向轴力的作用可以不 计。
第九章 薄板弯曲问题
计算假定
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
根据其内力和变形特征，提出了3个计 算假定：克希霍夫假设 1. 垂直于中面的线应变 z 可以不计。
z x 0, z y 0.
w w u z f1 ( x, y ), v z f 2 ( x, y ). x y
对 z 积分，
又由计算假定3， (u, v) z 0 0, 故 f1 f 2 0,
w w u z, v z. 得： x y
2 3
第九章 薄板弯曲问题
由下板面的边界条件
(ζ z ) z 0,
2
求出 F3 ，故更次要应力为
E 3 1 z 2 z 4 ζz ( ) (1 ) w.(e) 2 6(1 ) 2
第九章 薄板弯曲问题
求w方程
7.导出求解w的基本方程。 由上板面边界条件（属于静力平衡 条件）
定义
§9-1 有关概念及计算假定
薄板是厚度 板面尺寸的物体。 薄板的上下平行面 ( z 2 )，称为板面。 薄板的侧面，称为 板边。平分厚度的 面,称为中面 ( z 0) 。
第九章 薄板弯曲问题
比较
杆件受到纵向荷载（∥杆轴）的作用─ 杆件的拉压问题； 杆件受到横向荷载（⊥杆轴）的作用─ 梁的弯曲问题。 薄板受到纵向荷载（∥板面）的作用─ 平面应力问题； 薄板受到横向荷载（⊥板面）的作用─ 薄板的弯曲问题。
应用薄板的三个物理方程及式(b)，
得：
Ez w w ζx ( ), 2 2 2 1 x y Ez 2w 2w ζy ( ), 2 2 2 1 y x Ez 2 w xy . 1 xy
第九章 薄板弯曲问题
具体推导如下： 1. 取挠度w w( x, y )为基本未知函数。
应用几何方程及计算假定1，
w εz 0, w w( x, y ). z
第九章 薄板弯曲问题
v 用 w 表示。 2. 将u ， 应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0 ∴ u w v w
(b)
第九章 薄板弯曲问题
说明： (1) 在薄板弯曲问题中，略去了次要应 力引起的形变; 但在平衡条件中，仍考虑 它们的作用。
第九章 薄板弯曲问题
⑵ 薄板弯曲问题的物理方程(b)与 平面应力问题的物理方程相同。 但沿板厚方向，对于 x , y , xy , 平面应力问题的应力为均匀分布， 合成 轴力 N x , N y , N xy ; 而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中 面为0，合成弯矩 M x ,M y 和扭矩 M xy 。
第九章 薄板弯曲问题
薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内 容是： 1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。 2. 将其他未知函数─纵向位移 u,v；主要 应变分量 x , x , xy ;主要应力分量ζ x ,ζ x , xy； 次要应力分量 zx , zy 及最次要应力 ζ z 均用w来 表示。 3.导出求解w的方程。 4.导出板边的边界条件。
内力均为单位宽度上的主矢量和主矩， ∴其量纲均应降低一次长度量纲。 薄板内力是横截面上，应力向中面合成 的主矢量和主矩。 考虑上图的中面平衡条件，可得：
(a)
─合成主矢量为0,合成主矩称为扭矩,
M xy
δ 2 δ 2
w z xy d z D1 . xy
2
(b)
η xz
─合成主矢量称为横向剪力,
Fsx
δ 2 δ 2
2 xy d z D w. x
(c)
第九章 薄板弯曲问题
y面内力
η yz 沿z为二次分布，方向∥横截面。 η xz ，
第九章 薄板弯曲问题
x面内力
x面 ( 1)面积上，应力的主矢量和主矩为：
ζx
─合成主矢量为0,合成主矩称为弯矩,
Mx
δ 2 δ 2
η xy
2w 2w zζ x d z D . 2 2 x y
故
( x , y , xy ) z 0 0.
因此，中面在变形后，其线段和面积 在xy面上的投影形状保持不变。
第九章 薄板弯曲问题
类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问 题中提出了上述三个计算假定，并应用这 三个计算假定,简化空间问题的基本方程， 建立了小挠度薄板弯曲理论。 实践证明，只要是小挠度的薄板，薄 板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的 精度。
第九章 薄板弯曲问题
3.主要应变 x , x , xy 用 w 表示。
应用其余三个几何方程，并代入式(a) 得：
w w w (b) x 2 z, y 2 z, xy 2 z. x y xy
2 2 2
第九章 薄板弯曲问题
4.主要应力 ζ x ,ζ x , xy 用 w 表示。
第九章 薄板弯曲问题
⑶ 从计算假定1、2，得出 z zx zy 0, 故中面法线在薄板弯曲时保持不伸缩，
并且成为弹性曲面的法线。
第九章 薄板弯曲问题
3.中面的纵向位移可以不计，即
(u,v) z0 0
(c)
u v v u , y , xy , 由于 x x y x y
Ez 2 zx w F1 ( x, y ), 2 2(1 ) x
2
2 2 其中2 2 2 , x y
Ez 2 zy w F2 ( x, y ), 2 2(1 ) y
2
第九章 薄板弯曲问题
∵上下板面是大边界，必须精确满足 应力边界条件
b 2 ~ q( ) , 及扭应力 xy （合成扭矩 M xy） b ~ q ( ), 横向切应力 zx , zy （合成横向剪力Fsy ,Fsx ）

挤压应力
z ~ q.
第九章 薄板弯曲问题
∴ zx , zy 为次要应力， ζ z为更次要应力。 略去它们引起的形变，即得
第九章 薄板弯曲问题
6.更次要应力 ζ z 用 w 表示。 应用第三个平衡微分方程，将体力及 板面上的面力等效地移置到上板面，有
z η zx η yz . z x y
代入式(d)，并对z积分，得
E z 4 ζz ( z ) w F3 ( x, y). 2 2(1 ) 4 3
2
（板面）上，三个应力边界条件也已精
确满足。
⑷ 只有板边的边界条件尚未考虑，它 们将作为求解微分方程（f）的边界条件。
第九章 薄板弯曲问题
思考题
试比较梁的弯曲问题和薄板弯曲
问题的异同。
第九章 薄板弯曲问题
薄板内力
§9-3 薄板横截面上的内力
薄板内力，是薄板每单位宽度的横截面 上 ( 1) ,由应力合成的主矢量和主矩。 求薄板内力的目的：
第九章 薄板弯曲问题
特点
薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根
据其内力及变形的特征，又提出了三个计
算假定，用以简化空间问题的基本方程， 并从而建立了薄板的弯曲理论。
第九章 薄板弯曲问题
定义
当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，
称为薄板弹性曲面。 小挠度薄板─这种板虽然薄，但仍
有相当的抗弯刚度。它的特征是：
(ζ z ) z q,
2
得出在A域中求w的方程
D w q,
4
(f)
(g)
E D 为薄板的抗弯刚度 2 12(1 )
3
第九章 薄板弯曲问题
说明： ⑴ 在三个计算假定下，纵向位移u,v；主 要应变 x , x , xy ；主要应力 ζ x ,ζ x , xy ； 沿z向均为线性分布，在中面 ( z 0)为0； zx , zy 沿z向 次要应力（横向切应力） 为抛物线分布； 均与材料力学相似。 更次要应力（挤压应力） ζ z 沿z为三次曲线分布。
第一节
有关概念及计算假定
第二节
第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节 例题
弹性曲面的微分方程
薄板横截面上的内力 边界条件 扭矩的等效剪力
四边简支矩形薄板的重三角级数解 矩形薄板的单三角级数解 矩形薄板的差分解 圆形薄板的弯曲 圆形薄板的轴对称弯曲 习题的提示和答案 教学参考资料
第九章 薄板弯曲问题
第九章 薄板弯曲问题
⑵ 按位移求解薄板弯曲问题，只取w为
基本未知函数。在导出求w的基本方
程中应用了三个计算假定，与材料力 学解梁的弯曲问题相似。
第九章 薄板弯曲问题
⑶ 从上述推导过程可见,空间问题的6
个几何方程，6个物理方程和3个平衡微分
方程都已考虑并满足（其中应用了3个计 算假定）；并且在 z 的大边界
第九章 薄板弯曲问题
思考题
1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是
否也应用了这三个计算假定？2Leabharlann 在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平
面截面假设。在薄板中有否采用此假设？
第九章 薄板弯曲问题
薄板问题解法
§9-2 弹性曲面的微分方程
本节从空间问题的基本方程出发，
应用三个计算假定进行简化，导出按位
移求解薄板弯曲问题的基本方程。
zx 0, zy 0 .
(a)
并在空间问题的物理方程中，略去 ζ z引起 的形变项。因此，当略去 z , xz和 zy 后， 薄板弯曲问题的物理方程为
2(1 ) 1 1 x (ζ x ζ y ), y (ζ y ζ x ), xy xy E E E