注意： 由于在板的侧面，很难使应力分量精确地满足应力边界条件，但板的 侧面是板的次要边界，可应用圣维南原理，用内力的边界条件来代替 应力的边界条件
从薄板内取出一个平行六面体， 它的三边长度分别为dx, dy和板的厚度

图（9－2）
在x为常量的横截面上，作用着 x , y , xz
在该截面的每单位宽度上，应力分量 x 对中面合成为弯矩 M 2 z dz x a x
（a ）
3）将主要应力分量
x , y , xy 用
w
（9－4）
Ez 2 w 2w x 2 , 2 2 1 x y 2 2 Ez w w y 2 , 2 2 1 y x 2 Ez w xy 。 1 xy
w 0 x x0
即：
2w 0 xy xa, y b
例题：假定矩形扳支承与承受荷载如图7.10，试写出挠度表示的各边边界条件
O b
M0 C x
A
y q
a
B z
解：1) 固定边OA的边界条件是：
(w) x 0 0
w ( ) x 0 0 x
薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解，取挠 度 w w x, y 作为基本未知函数。
1)将纵向位移
纵向位移表示为
u, v 用挠度 w 表示。
u
w w z, v z。 x y
x , y , xy 2）将主要应变分量
用 w
表示
u 2w v 2w x 2 z, y 2 z, x x y y 2 v u w xy 2 x y xy
1 z z 2q 2
2
z,
z 1 。
• 由内力表示的平衡微分方程
Qx Q y q 0 x y M x M yx Qx 0 x y M xy M y Qy 0 x y
2 M xy 2 M y 2M x 2 q 0 2 2 xy x y
6）导出微分方程
根据薄板的上板面的边界条件
z z
q,
2
将
z
的表达式代入上式，得到薄板的弹性曲面微分方程
E 3 4 wq 2 12 1
E 3 其中 D 12 1 2
或
D4 w q,
称为薄板的弯曲刚度
§9－3薄板横截面上的内力
薄板内力： 指薄板横截面的每单位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩
薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即
u z 0
由几何方程知
0, v z 0 0 。
x z0 0, y z 0, xy z0 0
可知，中间的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy面上的 投影形状却保持不变
§9-2 弹性曲面的微分方程
（9－10）
薄板内力正负方向的规定，是从应力的正负的方向的规定来得出的：
正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正； 反之为负 所有内力的正方向，如图（9－3）所示
My
M yx
dx
Mx
Mx
x
M xy
M dx x
M xy
M xy x
dx
dy
My M dy y
M yx
M பைடு நூலகம்x y
dy
y
FSy
FSx
FSy y
FSx
FSx dx x
FSy
dy
图（9－3）
各应力分量与内力的关系
x
12M x

3
z , y
3
12M y

3
z,
（9－11）
xy yx
12M xy
2 6 F 6 FSx 2 Sy 2 2 zx 3 z , yz 3 z , 4 4
所以，简支边的边界条件可写成
(w) y=0=0
2w y 2 0 y 0
（3）固定边 在x＝0的固定边上，挠度和转角为零，故边界条件可写成 (w) x=0=0 （4）角点条件 板边的分布扭矩代换为分布剪力后，在角点将出现一个集中力，这个集中 力就是支座对板角点的集中反力。在求得挠度后，这个集中力可由式求得 对于无支座支撑的角点，例如图中的两自由边界的交点B，则要求 RB =2(Myx)x=a, y=b = 0，
4）两自由边的交点B (w)x=a,y=b=0 (2Mxy) x=a,y=b=RB是B点支座的被动反力。
§9－5 ：受均匀分布荷载四边简支板的Navier解 解：设挠度为三角级数形式 ny mx w Amn sin sin a b 它能满足所有的边界条件，即
(w) x=0=0
(
w ) 0 2 x 0 x
2w 2 w 2 2 0 y x a x
自由边AB：
(My)y=b=0
2w 2 w 2 2 0 x x b y
(Vy)y=b = q
3w 3w D 3 ( 2 ) 2 q x y y b y
2 a
将式（9－4）中的第一式代入并对z进行积分，得
3 2 2 E 2 w 2 w a E w w 2 2 Mx 2 a z dz 2 2 2 2 2 1 x y 2 12(1 ) x y
（2）简支边 在y=0的简支边界上，挠度和弯矩应为零，即
2 2 w w (w) y=0=0， (My) y=0＝ y 2 x 2 0 y 0
2 w w 由于(w) y=0=0表示沿x轴，w无变化，必然有 0 ， x 2 0 x y 0 y 0
从而有
u w v w , z x z y
可见：中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线
薄板的物理方程
1 x x y , E 1 y y x , E 2 1 xy xy。 E
M yx Vy Qy x
此外，还有两端未抵消的集中剪力
RA＝(Myx)A， RB＝(Myx)B
Vx Qx
M xy y
及两端的集中力
RB＝(Mxy)B，RC＝(Mxy)C
O RB A y RA z B RC C x
最终角点B出现未抵消的的集中力应是
RB＝(Myx)B＋(Mxy)B＝2(Myx)B
3 2 E 2w a E w 2 2 z dz 同理： M xy a 1 xy 2 12(1 ) xy
（a）
(b）
E 3 2 FSx w 2 12(1 ) X
(c）
同样，在y为常数的横截面上，
3 2 2 E w w M y 2 z y dz , 2 2 2 12(1 ) y x 2

（d）
M yx
3 2 E w 2 z yx dz M xy , 12(1 ) xy 2

（e）
E 3 2 FSy w。 2 12(1 ) y
将式（9－9）代入式（a）至（f），薄板的内力可简写成
（f）
2w 2w 2w 2w M x D 2 2 , M y D 2 2 , y x x y 2w M xy M yx D 1 , xy FSx D 2 w, FSy D 2 w。 x y
§9－4 扭矩的等效剪力 边界条件
• 侧边边界条件由圣维南原理满足 • 将分布剪力和分布扭矩合成为分布剪力
x
C z A y B
Myx
M yx
M yx dx x
(Myx )B
B
A
(Myx )A
dx
dx
• 可用2个大小相等为Myx，方向相反，相距dx的垂直力代替
M yx dx ，方向相反，相距dx的垂直力代替 • 可用2个大小相等为 M yx x
其中
2 2 2 2 x y 2
5）将更次要应力分量
z
用
w
表示。
z
2 E 1 3 3 4 w z z 2 2 3 8 2 1 4
2
E 3 z z 4 1 1 。 w 2 6 1 2
第九章
§ 9－ 1 § 9－ 2 § 9－ 3 § 9－ 4 § 9－ 5 § 9－ 6
薄板弯曲问题
有关概念及计算假定 弹性曲面的微分方程 薄板横截面上的内力 边界条件 四边简支矩形薄板的重三角形积数解 矩形薄板的但三角形级数解
§ 9－7
§ 9－ 8
矩形薄板的差分解
圆形薄板的弯曲
§ 9－9
圆形薄板的轴对称弯曲
3w 3w Vx D 3 ( 2 v ) xy 2 x 3w 3w V y D 3 (2 v) 2 x y y
2w RB 2 D(1 v)( ) xy
O
C
x
b
A y
a
B
（1）自由边 弯矩和合成剪力为零，因此， 在x=a上， Mx=0，Vx＝0， 在y=b上，My=0，Vy＝0，
取
z zx yz
可以不计。
z 0
由几何方程的第三式得
w 0 w w x, y z
结论：中面的任一根法线上的各点都有相同的横向位移，也就等于挠度