M ym 1 4
Zn b 12
M xn a 12
M yn

T
1 b 4 pab 4 12
a 12
(5.17)
其中Zi和Mxi、Myi为i节点沿z向的力和绕x、y轴的力偶。
由上式可见，单元在均布的横向载荷p作用下，每个 节点不但分配有全部单元横向力4pab的1/4，而且对 各节点还分配有绕x、y轴的力偶。
式中的[B]也可称为单元的应变矩阵，按 节点分块表示，有
B Bk
Bl
Bm
Bn
而对任一节点i的应变矩阵，按图5-4所示的 坐标轴，有(5.14)(p81)
单元的内力

如已解出板结构的全部节点位移{δ}，则 对任意的e单元都可以找出相应的单元节 点位移{δ} e ，再应用应变矩阵[B]和薄板 弯曲的弹性矩阵[D]，即可得到单元的内 力 e {M } [ D][ B]
(5.2)
应力与应变的关系为
x 1 y Dp Dp z xy


(5.3)
其中[Dp]即平面应力问题的弹性系数矩阵
板的中面处z=0，有
0
0
即中曲面内没有面内应变，也没有面内应力。
第五章
薄板弯曲
5.1 薄板的弯曲变形


如h以表示板厚，以l表示其他方向的尺寸， 当h/l<15时，可认为是薄板。 板内厚度中点构成的平面称中面。 板件一般常驻有垂直于中面的载荷（横 向载荷），在载荷作用下，板面发生弯 曲，中面由平面变为曲面，称为挠曲面。



以未变形的中面为xy坐标面，中面各点 沿z轴的横向位移以w表示，称为挠度， 如图5-1所示。 一般挠度为中面各点坐标的函数，即 w=w(x,y) 称为挠曲面方程。
(5.1)
因此，板内的应变可用列阵表示为
1 2 2 x x x2 1 y z z 2 w y y 2 xy 1 2 xy xy
其中V为板的体积域。
将式(5.2)及(5.3)代入上式，并沿厚度方向积 分，可得
1 2 1 1 U D p z dV 2 V
T

1 1 1 D dS 2 S
T
(5.6)
其中S为板中面的面积域，[D]为薄板弯曲的弹性 系数矩阵。 •由上式可见，薄板弯曲变形时，单位面积中面的 弹性应变能为其曲率的二次型。 •板弯曲的曲率是其挠度w的二阶导数，因而薄板弯 曲的弹性应变能为包括w二阶导数的二次泛函数。
薄板弯曲时，板内各点的应变为
x
z
x
1
y
z
y
xy
z
xy
其中z为点到中面的距离
1
x
1
y
为挠曲面沿方向的曲率
xy 为扭曲率
当板弯曲挠度很小时，曲率、扭曲率与挠 曲面的关系为
w 2 x x 1
2
w 2 y y 1
2
1
xy
w 2 xy
(5.7a)
其中a1、 a2… a12为待定系数。




12个待定系数对应于单元的12个自由 度。 前3项为常数项及线性项，反映出中面 平板无弯曲的刚体位移。 3个二次项经二阶微分后给出常曲率， 反映出中面变形的3种常应变形式。 因此，前6项满足了单元的完备性要求。



含有完全的三次多项式，其四次项是不完全的， 此种近似的挠度函数具有三次多项式的精度。 不完全四次项的两项是对称的，这使单元对x 及y轴具有同等的变形能力；当坐标轴转90o时， 单元不会表现出不同的弯曲挠度形式。 在x=常数及y=常数的单元边界上，其挠度都 只含三次多项式。由后面的分析可见，这种假 定的挠度函数可以保证单元间挠度的连续性。
5.3 薄板弯曲的相容性问题



薄板弯曲的总势能表达包含w的二阶导 数。 完备性要求：所假定的单元位移模式应 能实现任意的刚体位移和常曲率状态； 相容性要求：所假定的单元位移模式保 证单元间挠度及其一阶导数都是连续的。


(5.7a)的假定位移模式满足完备 性要求； 但该假定的位移模式不满足相容 性要求，其在各单元边界上挠度 的导数 w / x 或 w / y 是不连 续的。
板单元的每个节点有3项独立位移，即有3个自 由度，4个节点共有12个自由度。
如e单元4个节点的编号为k、l、m、n，则此单 元全部节点位移可以列阵表示为
e wk xk yk
wl xl
yl
wm xm ym
wn xn
yn
为分析方便，此顺序是按节点分组排列的。如 按节点分块，上述节点位移应表示为
e
e
T
p( x, y)dxdy
其中[N]为板弯曲的形状函数矩阵，由式(5.11) 决定。
当横向分布载荷为常值p时（均布载荷）， 对图5-5所示的矩形板单元，其分配得到的 单元节点载荷为
Qe Z k
M xk
M yk
Zl
M xl 1 b 4 12
M yl a 12
Zm 1 4
M xm b 12 a 12
e
T

e

简写为 而其中
1 eT e e U [k ] 2
T S


(5.16)
[k ]e e B D B dxdy
即为板弯曲的单元刚度矩阵。

板弯曲的单元刚度矩阵，其计算式 与一般单元刚阵（如平面问题）完 全一样，只是这里应代入板弯曲的 弹性系数矩阵[D][式(5.5)]和板弯曲 的应变矩阵[B][式(5.13)]。
N ( x, y) N k
Nl
Nm
Nn
(5.11)

对于图5-4所示的矩形单元，其 任一节点i的形状函数矩阵[Ni}是 一个1X3的行阵，表达如 (5.12)(p80)
单元刚阵
将式(5.10)代入式(5.1)，可得单元的曲率为
2 2 x2 1 e e N [ B] 2 y 2 2 xy
图5-3为矩形板单元，规定位移的正方向： w i沿z轴方向； 转角θxi和θyi绕x、y轴按右手螺旋规定正 方向。

节点位移
按直法线假设，以小挠度变形下，法线的转 角可由挠曲面的斜率表示。
i节点的3项位移可用列阵表示为 wi wi w i xi y i yi w x i
3
0 1 3 Eh 1 [ D] 0 2 12(1 ) 1 0 0 2 [D]为薄板弯曲的弹性系数矩阵，它与平面应力问 题弹性系数矩阵相似，只是多一个系数h3/12。
其中
ห้องสมุดไป่ตู้
薄板弯曲的弹性应变能为
1 U ( x x y y xy xy )dV 2 V 1 T dV 2 V
节点载荷


板结构上如受有集中荷载，一般在划分 单元时宜将此力作用点划分为网格中的 一个节点，此集中力可直接加入结构的 总载荷列阵{Q}中。 如板面承受有面分布的横向载荷p(x,y)， 则应按式(3.10)逐个单元将分布力等效分 配到各节点上。
任一单元e形成的单元节点载荷为
Q s N
式(5.7a)可写成矩阵形式
w 1 x y x 2 xy y 2 x3 x 2 y xy2

y 3 x3 y xy3 a
(5.7b)

或简写为
w [ M ( x, y)]{a}
其中是[M(x,y)]一个1X12阶的函数矩阵，而{a}是 由12个待定系数组成的列阵
将(5.7b)对x、y分别求导，可得到两个转角 的矩阵表达式如下：
w x 0 0 1 0 x 2 y 0 x 2 2 xy 3 y 2 x 3 3xy 2 a y


w y 0 1 0 2 x y 0 3x 2 2 xy y 2 0 3x 2 y y 3 a x
(5.8)


依次将单元的4个节点坐标代入式(5.7b)及(5.8) 中，可得到4个节点的挠度w及转角θx和θy 这里共有12个方程，联系着12个节点位移分 量及12个a参数之间的关系，其矩阵表达式为
2
板挠曲面的曲率、扭曲率表示出板弯曲变形的程 度，这3个分量也可合称为曲率。可用列阵表示为
1 2 2 x x2 1 1 w 2 y y 2 1 2 xy xy
上式中[D] [B]= [S]为薄板弯曲应力矩阵， 为3X12的长方矩阵。
将板弯曲的曲率代入板弯曲的应变能表达 式(5.6)，可得到单元的应变能
1 1 1 U e D dxdy 2 S 1 eT T e B D B dxdy e S 2
例如：在单元ij边界y=b (常数) 上 有
w( x, b) A0 A1 x A2 x A3 x
2
3
其中四个常数Ak,k=0,1,2,3 可以由四 个条件wi,wj,
yi
w

及 x
i
yj
w

x

j
来确定，故此时变形的挠度和沿x方 向的转角是连续的。

e
kT

lT
T m
T n
形状函数
取矩形单元的对称轴为x、y轴，可假定单元内 挠度具有如下的多项式形式