武汉市部分重点中学2017—2018学年度上学期期末测试高一数学试卷命题人:武汉市第14中学一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的)1.已知cosα=45,sinα=−35,那么2α的终边所在的象限为( )A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A ={y |y =log 2x,x >0},B ={y |y =(12)x,x >1},则A ∩B =( )A (12,1) B (0,12) C (0,1) D ∅3.已知函数f (x )=3sin(2x +π4)若对任意的x ∈R 都有f (a +x )=f (a −x ),则f (a +π4)=( )A. 0B. -3C. 3D. 以上都不对 4.已知sin140°=a ,则tan1700=( ) A √1−a 2B√1−a 2C −√1−a 2aD√1−a 2a5.已知函数f (x )={|lgx |,x >0−x(x +4),x ≤0则函数y =f (x )−3的零点的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 6.计算a√−1a 等于( )A. √−aB. √aC.−√−aD. −√a 7.sin570−sin270cos300cos27o =( )A. −√32B. −12C. 12D.√328.已知sinα=13+cosα,且α∈(0,π2),则cos2αsin(α−π4)的值为()A. √173B. −√173C. √343D. −√3439.已知函数f(x)=cos2ωx+2√3sinωx⋅cosωx−sin2ωx,(ω>0,x∈R)的最小正周期为π,则函数f(x)的图像的一条对称轴方程是()A. x=π12B.x=π6C.x=π12D. x=π310.下列结果为√3的是()①tan250+tan350+√3tan250⋅tan350;②sin1640sin2240+sin2540sin3140;③1+tan15°1−tan150;④2tanπ61−tan2π6A.①②B. ①②③C. ①③④D. ①②③④11.对于函数f(x)=4sin(2x+π3),(x∈R),有以下四个判断:①把y=sin2x的图像先沿x轴向左平移π3个单位,再将纵坐标伸长到原来的4倍(横坐标不变)后就可以等到函数y=f(x)图像;②该函数图像关于点(π3,0)对称;③由f(x1)=f(x2)=0可得x1−x2必是π的整数倍;④函数y=f(x)在[−π3,π12]上单调递增。
其中正确判断的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 412.设x,y∈R,且满足{sin(x−1)+2017(x−1)=cos2018π3sin(y−1)+2017(y−1)=cos2017π6,则x+y=()A. 0 B. 1 C. 2 D. 4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.求使不等式√2+2cosx ≥0,(x ∈R )成立的x 的取值集合为 14.化简:sin50°(1+√3tan100)=15.若f (x )=2sinωx ,(0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为1,则ω=16.对实数a 和b ,定义运算“⊗”:a ⊗b ={a,a ≥bb,a <b ,设函数f (x )=sinx ⊗cosx ,(x ∈R ),下列说法正确的序号是 ①y =f (x )是周期函数,且周期为2π;②该函数的值域为[−√22,1];③该函数在[π2,5π4]上单调递减;④f (2π3)=√3z三、解答题(本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知集合A ={x |−2≤log z x ≤1},函数f (x )=4∗−2x+1−1,求x ∈A 时f (x )的最大值。
18.(本小题满分12分)已知−π2<α<π2,−π2<β<π2,且tanα、tanβ是方程x 2+7x +8=0的两个根,求α+β的值。
19.(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f (x )=Asin(ωx +φ)+B ,(A >0,ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如下表:(I )请求出上表中的x 1,x 2,x 3,并直接写出函数f (x )的解析式;(II )将f (x )的图像上点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变;再把所得图像上所有点向右平移π12个单位,得到函数g (x ),若当χ0∈(0,π4)且g (x 0)=4√25时,求g (x 0+π6)的值。
20.(本小题满分12分)定义运算:(abcd)=ad −bc ,设函数f (x )=(√3sinx cosxsinx−√3cosx )函数g (x )=f (x )+a(I )求函数f (x )的最小正周期 (II )若函数g (x )在[−π12,5π12]上的最大值与最小值之和为√3,求实数a 的值21.(本小题满分12分)人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,1989年7月11日本定为“世界人口日”,以引起国际社会对人口问题的重视(I)世界人口在过去的50年里翻了一番,问每年世界人口平均增长率是多少?(II)我国人口在1998年底达到12.48亿,若将人口平均增长率控制在1%以内,我国人口在今年(2018年)底至多将有多少亿?以下数据供计算时使用22.(本小题满分12分)对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“漂亮函数”①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0②当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立已知函数g(x)=x2与T(x)=sinx和ℎ(x)=2x−b都是定义在[0,1]上的函数(I)请证明函数g(x)=x2为“漂亮函数”;(II)试问函数T(x)=sinx是否为“漂亮函数”?并说明理由;(III)若函数ℎ(x)=2x−b是“漂亮函数”,求实数b组成的集合。
参考答案及解析13.x∈[−34π+2kπ,34π+2kπ],k∈Z14. 115. 1216. ①②③④详细解析如下:一、选择题1.D∵cosα=45,sinα=15∴α∈(−π4+2kπ,2kπ)∴2α∈(−π2+4kπ,4kπ)故2α在第四象限2.BA=(−∞,+∞),B=(0,12)∴A∩B=(0,12)3.A∵f(a+x)=f(a−x)∴对称轴为x=a∴2x+π4=π2+kπx=π8+kπ2∴a=π8+kπzf(a+π4)=3sin[2(π8+kπ2+π4)+π4]=3sin[π4+kπ+π2+π4]=3sin[kπ+π]=04.B∵sin170°=−sin190o =−a ∴ cos170°=−√1−a 2 ∴tan170°=−a −√1−a 2=a √1−a 25.D由图像可知,y =f (x )−3的零点个数必有4个 6.C∵−1a >0 ∴a <0原式=−(−a )√−1a=−√(−a )2⋅1−a=−√−a 7.C 原式=sin(270+30°)−sin270cos300cos270=sin 270cos 30°+cos 270sin 300−sin 270cos 300cos 270=sin 300 =128.D∵sinα−cosα=13∴⊢2sinαcosα=112sinαcosα=89∴(sinx +COSα)2=179∵α∈(0,π2)且sinαcosα>0 ∴sinα+cosα=√173原式=22√22(sinα−cosα=−√2(cosα+sinα)=−√3439.Bf(x)=cos2ωx−sin2ωx+2√3sinωxcosωx =cos2ωx+√3sin2ωx=2sin(ωx+π6)∵T=π∴2πω=πω=2∴f(x)=2sin(2x+π6)对称轴2x+π6=π2+kπx=π6+kπ2k=0时,x=π610.C①tan(25°+35°)=tan25°+tan35°1−tan25°tan35°=√3故tan250+tan350+√3tan250⋅tan350=√3②sin1640sin2240+sin2540sin3140=−sin16°sin44°+sin74°sin46°=−sin16°sin44°+cos16°cos44°=cos(16°+44°)=cos600=12③1+tan15°1−tan150=tan 45°+tan 15°1−tan 45°tan 15°=tan 30° =√3 ④原式=2⋅√331−13=√311.B①y =sin2x 向左平移π3个单位得y =sin2(x +π3)即y =sin(2x +23π),横坐标不变,纵坐标伸长4倍得y =4sin(2x +23π),故①错误②f (π3)=4sin(23π+π3)=4sinπ=0 正确③∵T =π且f (x 1)=f (x 2)=0∴|x 1−x 2|=π2+kπ 相隔π2的整数倍,故错误④π12−(−π3)=512π<T2f (π12)=4sin(π6+π3)=4 为最大值 故④正确 12.Bcos20183π=cos(672π+23π)=cos23π=−12sin20176π=sin(336π+16π)=sin16π=12∴两式相加为0设f (x )=sinx +2017x ,显然f (x )=−f (−x )为奇函数且单调递增 又f (x −1)+f (y −1)=0 ∴x −1+y −1=0,即x +y =2二、填空题13 √2+2cosx≥0cosx≥−√22∴x∈[−34π+2kπ,34π+2kπ],k∈Z14.原式=sin50°⋅cos10°+√3sin10°cos10°=sin50°⋅2sin40°cos10°=sin80°cos10°=115. ∵0<ω<1,x∈[0,π3]∴ωx∈(0,π3)∴f(x)=2sinωx在[0,π3]上单调递增∵f(x)在[0,π3]最大值为1∴f(π3)=1∴2sinωπ3=1∴ωx3=π6∴ω=1216.画出函数图像,由图像可知T=2π,f(x)∈[−√22,1],f(23π)=sin23π=√32故①②③④都正确三、解答题17.∵A={x|−2≤log2x≤1}∴A∈[14,2]f(x)=(2x−1)2−2在A∈[14,2]上单调递增∴f(x)max=f(2)=718.∵tanα+tanβ=−7<0tanαtanβ=8>0∴tanα<0,tanβ<0∵−π2<α<π2,−π2<β<π2∴−π2<α<0,−π2<β<π2∴α+β∈(−π,0)tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ∴α+β=−34π19.(I){π12ω+φ=π27π12ω+φ=32π解得{ω=2φ=π3A=√2 B=0∴f(x)=√2sin(2x+π3)∴{2x1+π3=02x2+π3=π2x3+π3=2π解得{x1=−π6x2=π3x3=5π6(II)g(x)=√2sin(x−π12+π3)=√2sin(x+π4)∵g (x 0)=45√2 ∴√2sin(x 0+π4)=45√2 ∴sin(x 0+π4)=45 ∵x 0∈(0,π4) ∴x +π4∈(π4,π2) ∴cos(x +π4)=35 g (x 0+π6)=√2sin(x 0+π6+π4) =√2[sin(x 0+π4)cosπ6+cos(x 0+π4)sinπ6] =√2[45⋅√32+35⋅12] =65√6+310√220.(I )f (x )=sinx(sⅈ.nx +√3cosx)−cosx(cosx −√3sinx) =2√3sinxcosx +sin 2x −cos 2x = √3sin2x −cos2x=2sin(2x −π6) T =2π2=π(II )g (x )=f (x )+a =2sin(2x −π6)+a ∵x ∈[−π12,512π] ∴2x −π6∈[−π3,23π]∴g (x )max =2+a ,g (x )min =−√3+a∴2+a −√3+a =√3a =√3−121.(I )设平均增长率为x(1+x )50=2log (1+x )2=50lg2lg(1+x)=50lg(1+x)=lg250=0.301050lg(1+x)=0.00602≈lg1.014∴1+x≈1.014x≈1.4%(II)12.48×(1+1%)20设(1+1%)20=Nlog1.01N=20lgNlg1.01=20lgN=20×0.0043lgN=0.086∴N=1.218∴12.48×1.218=15.2006422.(I)∵g(x)=x2在[0,1]上单调递增∴g(x)≥g(0)=0即x∈[0,1]时总有g(x)≥0当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时g(x,+x2)−g(x1)−g(x2)=(x1+x2)2−x12−x22=2x1x2≥0∴g(x1+x2)≥g(x1)−g(x2)∴g(x)=x2为“漂亮函数”(II)T(x)=sinx在[0,1]上单调递增∴T(x)≥T(0)=0T(x,+x2)−T(x1)−T(x2)=sinx1cosx2+cosx1sinx2−sinx1−sinx2 =sinx1(cosx1−1)+sinx2(cosx1−1)<0不是“漂亮函数”(III)∵ℎ(x)min=ℎ(0)=1−b≥0∴b≤1ℎ(x1+x2)−ℎ(x1)−ℎ(x2)=2x1+x2−2x1−2x2+b≥0b≥2x1+2x2−2x1+x2当x1=x2=0时,b≥1∴b=1。