2020年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，2）3．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．cos x﹣cos y＞0 B．cos x+cos y＞0C．lnx﹣lny＞0 D．lnx+lny＞04．（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝（）A．e﹣x+1B．e﹣x﹣1C．e x﹣1D．e x+15．（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，则使得a1a2…a n取得最大值的n为（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则tan（+）＝（）A．B．C．2 D．38．（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（）A．﹣y2＝1 B．x2＝1C．＝1 D．＝19．（5分）地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过10．（5分）已知函数f（x）＝+2x+1，且f（a2）+f（2a）＞3，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣2，0）D．（﹣1，3）11．（5分）已知函数f（x）＝sin x+sin（πx），现给出如下结论：①f（x）是奇函数；②f（x）是周期函数；③f（x）在区间（0，π）上有三个零点；④f（x）的最大值为2．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最大值为（）A．3 B．C．D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．（用数字作答）14．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上一点，则•＝．15．（5分）函数f（x）＝lnx和g（x）＝ax2﹣x的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线方程为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是；设点A（﹣，0），则|PO|+|PA|的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B＝b sin（A﹣）．（1）求A；（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（1，）在椭圆C上，直线l1过椭圆C的有交点与上顶点，动直线l2：y＝kx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，若点P满足|OP|＝|MN|，求此时|MN|的长度．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF∥平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x，x＞0．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P（x0，y0），求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣1|．（1）若f（a）＜2，求a的取值范围；（2）当x∈[a，a+k]时，函数f（x）的值域为[1，3]，求k的值．2020年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵＝，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，2）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣1或x＞1}，∴A∩B＝（1，2）．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．cos x﹣cos y＞0 B．cos x+cos y＞0C．lnx﹣lny＞0 D．lnx+lny＞0【分析】根据题意，结合函数的单调性分析选项A、C，可得A错误，C正确，对于B、D，利用特殊值分析可得其错误，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝cos x在（0，+∞）上不是单调函数，故cos x﹣cos y＞0不一定成立，A错误；对于B，当x＝π，y＝时，cos x+cos y＝﹣1＜0，B不一定成立；对于C，y＝lnx在（0，+∞）上为增函数，若x＞y＞0，则lnx＞lny，必有lnx﹣lny＞0，C正确；对于D，当x＝1，y＝时，lnx+lny＝ln＜0，D不一定成立；故选：C．【点评】本题考查函数单调性的应用，涉及实数大小的比较，属于基础题．4．（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝（）A．e﹣x+1B．e﹣x﹣1C．e x﹣1D．e x+1【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可．【解答】解：y＝e x关于y轴对称的函数为y＝e﹣x，然后向右平移一个单位得到f（x），得y＝e﹣（x﹣1），即f（x）＝e﹣x+1，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象变换，结合条件进行逆推法是解决本题的关键．比较基础．5．（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）A．B．C．D．【分析】我们要根据已知条件，求出第3个大正三角形的面积，及黑色区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【解答】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的，不妨设第一个三角形的面积为1．∴第三个三角形的面积为1；则阴影部分的面积之为：第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率：，故选：B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P＝求解．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，则使得a1a2…a n取得最大值的n 为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】结合等比数列的通项公式可求通项，然后结合项的正负及增减性可求．【解答】解：∵等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，，解可得，q＝，a1＝27，∴a n＝，若使得a1a2…a n取得最大值，则n应该是偶数，且n＞4时，|a n|＜1，故当n＝4时，a1a2…a n取得最大值．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，分析数列的项的特点是求解问题的关键．7．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则tan（+）＝（）A．B．C．2 D．3【分析】求出tanα＝＝，从而tan＝，由此能求出tan（+）的值．【解答】解：∵α为锐角，cosα＝，∴sinα＝＝，tanα＝＝＝，解得tan＝，或tan＝﹣2，∴tan（+）＝＝＝3．故选：D．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、正切函数的二倍角公式、正切加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（）A．﹣y2＝1 B．x2＝1C．＝1 D．＝1【分析】求出双曲线的渐近线方程，令x＝a，求得A，B的坐标，由等边三角形的性质可得a，b的值，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为bx﹣ay＝0和bx+ay＝0，由x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A（a，b），B（a，﹣b），△OAB是边长为2的等边三角形，即有2b＝2，即b＝1，且a＝×2＝，可得双曲线的方程为﹣y2＝1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的应用，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于基础题．9．（5分）地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过【分析】通过图结合选项分析．【解答】解：由图1知没有在截止到2015年中国累计装机容量达到峰值，A错；由图2知，10年来全球新增装机容量起伏，B错；由图1知，10年中国新增装机总容量为13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1＝197.7，则10年来中国新增装机容量平均为19.77GW，C错；故选：D．【点评】本题考查频率直方图，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝+2x+1，且f（a2）+f（2a）＞3，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣2，0）D．（﹣1，3）【分析】设F（x）＝f（x）﹣＝+2x+1﹣＝+2x，分析函数F（（x）的奇偶性，单调性，f（a2）+f（2a）＞3，转化为F（a2）＞﹣F（2a），即可解出答案．【解答】解：根据题意，设F（x）＝f（x）﹣＝+2x+1﹣＝+2x，则F（0）＝f（0）﹣＝0，又由F（﹣x）＝+2（﹣x）＝﹣（+2x）＝﹣F（x），即函数F（x）为奇函数；又由F′（x）＝＝＝＞0，所以函数F（x）单调递增，若f（a2）+f（2a）＞3，则f（a2）﹣＞，f（a2）﹣＞﹣[f（2a）﹣]，F（a2）＞﹣F（2a），F（a2）＞F（﹣2a），所以a2＞﹣2a，解得，a＜﹣2或a＞0，故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及构造法的应用，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）＝sin x+sin（πx），现给出如下结论：①f（x）是奇函数；②f（x）是周期函数；③f（x）在区间（0，π）上有三个零点；④f（x）的最大值为2．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据函数奇偶性定义进行判断，②用反证法推出函数的函数无周期，③f（x）＝sin x+sin（πx）＝2sin cos，函数的零点为方程sin＝0或cos＝0，x＝或x＝，x∈（0，π），进而得出结论，④用反证法推出函数的函数最大值不是2．【解答】解：因为f（﹣x）＝sin（﹣x）+sin（﹣πx）＝﹣sin x﹣sin（πx）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，①正确．假设存在周期T，则sin（x+T）+sin（π（x+T））＝sin x+sinπx，sin（x+T）﹣sin x＝﹣[sin（π（x+T））﹣sinπx]，所以sin•cos＝﹣sin•cos①，存在x0∈R，使得cos＝0，而cos≠0，将x0∈R，﹣sin•cos＝0，由于，故﹣sin＝0，所以sin＝0，sin＝0，＝kπ，＝mπ，k，m∈Z，所以kπ＝m，矛盾，所以函数f（x）＝sin x+sin（πx），没有周期，②错误．f（x）＝sin x+sin（πx）＝2sin cos，函数的零点为方程sin＝0或cos＝0，x＝或x＝，x∈（0，π）x＝，或，所以f（x）在区间（0，π）上有三个零点；故③正确．假设存在这样的x0使得f（x）最大值为2，x0＝且πx0＝，（k∈Z）即x0＝且x0＝，所以＝，k＝﹣，与k∈Z矛盾，故④错误．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于难题．12．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最大值为（）A．3 B．C．D．3【分析】不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则有MB2＝h2+4，BQ2＝m2+4，MQ2＝（h﹣m）2+4由MB2＝BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2＝0．△＝h2﹣8≥0⇒h2≥8，且h≤4，可得S2＝1+h2，就可求出S最大值．【解答】解：解：如图，不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则有MB2＝h2+4，BQ2＝m2+4，MQ2＝（h﹣m）2+4由MB2＝BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2＝0．得h＝＝m+①△＝h2﹣8≥0⇒h2≥8，且h≤4，即8≤h2≤16，S＝，S2＝×|MQ|2×|BQ|2＝[（h﹣m）2+4]×（m2+4）把①代入得S2＝×[（m+﹣m）2+4]×（m2+4）＝[+4]×（m2+4）＝5+＝5+（+m）2﹣4＝1+（+m）2＝1+h2，所以S2＝1+h2∈[9，17]，S2max＝17，S max＝，故选：C．【点评】本题考查了空间线面位置关系，考查了转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有60 种．（用数字作答）【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法，2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法，第二步，再决出2名二等奖，有种方法，第三步，剩余三人为三等奖，根据分步乘法计数原理得：共有•＝60种方法．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．14．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上一点，则•＝．【分析】取BC的中点D，＝（+）＝（（+）+），⊥，再利用两个向量垂直的性质及向量的运算法则，可得结果．【解答】解：取BC的中点D，由条件得•＝（+）•（﹣）＝（（+）+）•（﹣）＝﹣+＝﹣+•＝+0＝，故答案为：．【点评】此题是基础题．本题考查两个向量的运算法则及其意义，两个向量垂直的性质．15．（5分）函数f（x）＝lnx和g（x）＝ax2﹣x的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线方程为y＝x﹣1 ．【分析】分别求得f（x），g（x）的导数，设P（x0，y0），则lnx0＝ax02﹣x0①，结合f′（x0）＝g′（x0），联立消掉a可得关于x0的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一x0值，进而可求P的坐标，以及切线的斜率和切线方程．【解答】解：f（x）＝lnx的导数为f′（x）＝，g（x）＝ax2﹣x的导数为g′（x）＝2ax﹣1，设P（x0，y0），则lnx0＝ax02﹣x0①，f′（x0）＝g′（x0），即＝2ax0﹣1，化简得1＝2ax02﹣x0②，联立①②消a得，lnx0＝，令φ（x）＝lnx﹣，φ′（x）＝+＞0，易知φ（x）在（0，+∞）上单调递增，又φ（1）＝0，所以φ（x）＝lnx﹣有唯一解1，即x0＝1，则y0＝f（1）＝0，a＝1．故P（1，0），切线的斜率为1，切线的方程为y＝x﹣1．故答案为：y＝x﹣1．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是（0，±1）；设点A（﹣，0），则|PO|+|PA|的最小值为．【分析】设P（x，y），P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，求出P 的轨迹方程为抛物线，根据抛物线的性质，求出曲线C与y轴的交点坐标和|PO|+|PA|的最小值．【解答】解：设P（x，y），P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则|x+1|＝，化简得y2＝2x+1，令x＝0，y＝1，故曲线C与y轴的交点为（0，1），（0，﹣1），A（﹣，0），根据题意，当O，P，A三点共线时，则|PO|+|PA|的最小，最小值长等于|OA|＝，故答案为：（0，±1）；．【点评】考查直线与抛物线的综合，求曲线的轨迹方程，中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？【分析】（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，求出5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05×10＝0.8，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为Y2，则Y2是随机变量，求出5000个游客的平均利润为15000元，由此能求出该项目每天的平均利润比调整前多10000元．（2）设降价x元，则0≤x＜15，照片被带走的可能性为0.3+0.05x，不被带走的可能性为0.7﹣0.05x，设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，求出其分布列，从而E（Y）＝（15﹣x）×（0.3+0.05x）﹣5×（0.7﹣0.05x）＝0.05[69﹣（x﹣7）2]，由此求出当定价为13元时，日平均利润取最大值为17250元．【解答】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，其分布列为：Y1 15 ﹣5P 0.3 0.7E（Y1）＝15×0.3﹣5×0.7＝1（元），则5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05×10＝0.8，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为Y2，则Y2是随机变量，其分布列为：Y2 5 ﹣5P 0.8 0.2E（Y2）＝5×0.8﹣5×0.2＝3（元），则5000个游客的平均利润为5000×3＝15000（元），该项目每天的平均利润比调整前多10000元．（2）设降价x元，则0≤x＜15，照片被带走的可能性为0.3+0.05x，不被带走的可能性为0.7﹣0.05x，设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，其分布列为：Y 15﹣x﹣5P 0.3+0.05x 0.7﹣0.05xE（Y）＝（15﹣x）×（0.3+0.05x）﹣5×（0.7﹣0.05x）＝0.05[69﹣（x﹣7）2]，当x＝7时，E（Y）有最大值3.45元，∴当定价为13元时，日平均利润取最大值为5000×3.45＝17250元．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B＝b sin（A﹣）．（1）求A；（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A＝﹣，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝﹣θ，∠ACD＝﹣θ，在△ADC中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sinθ＝cosθ，可求sinθ，cosθ，利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ，进而根据三角形的面积公式可求S△ADC的值．【解答】解：（1）由正弦定理可得a sin B＝b sin A，则有b sin A＝b（sin A﹣cos A），化简可得sin A＝﹣cos A，可得tan A＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝．（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝﹣θ，∠ACD＝﹣θ，在△ADC中，，则＝，所以＝，可得sinθ＝cosθ，又因为sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ＝，cosθ＝，则sin2θ＝2sinθcosθ＝，所以S△ADC＝sin∠ADC＝＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（1，）在椭圆C上，直线l1过椭圆C的有交点与上顶点，动直线l2：y＝kx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，若点P满足|OP|＝|MN|，求此时|MN|的长度．【分析】（1）由离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）直线l2的方程与椭圆联立求出点M的坐标，由|OP|＝|MN|得P点坐标，P的直线l1上求出k值，进而求出MN|的值．【解答】解：（1）由题意得：e＝＝，+＝1，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程：＝1；（2）由题意直线l2的方程：y＝kx，代入椭圆中整理：（3+4k2）x2＝12，解得x＝，令M的坐标（，k）∵|OP|＝|MN|，由对称性可知，点P为OM的中点．故P的坐标（，），由P在直线l1：x+y﹣＝0，所以+﹣＝0，解得：k＝0或k＝，故M的坐标为（2，0），或（，），所以|OM|＝2，或，所以|MN|的长度为4或．【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中难题．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF∥平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【分析】（1）连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，推导出DE ∥AC，EF∥AP，从而DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，进而平面EFG∥平面PAC，由此能证明GF∥平面PAC．（2）连结PE，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，∴D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，∴DE∥AC，EF∥AP，∵DE，EF⊄平面PAC，AC，AP⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，∵DE，EF⊂平面EFG，DE∩EF＝E，∴平面EFG∥平面PAC，∵GF⊂平面EFG，∴GF∥平面PAC．（2）解：连结PE，∵PA＝PB，E是AB的中点，∴PE⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB，∴PE⊥平面ABC，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，∴OF⊥平面ABC，∴∠FGO是GF与平面ABC所成角，∴∠FGO＝60°，在Rt△FGO中，设GF＝2，则OG＝1，OF＝，∴OC＝3，PE＝2，∴AB＝4，CE＝2，OE＝，∴OE2+OC2＝CE2，∴OC⊥AB，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣3，0），C（3，0，0），P（0，﹣，2），＝（3，3，0），＝（0，2），设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（），平面PAB的法向量＝（1，0，0），设二面角B﹣AP﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x，x＞0．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．【分析】（1）求导可知时f（x）单减，时f（x）单增，进而求得最小值；（2）即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，利用导数容易得证．【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣2cos x，令f′（x）＝0，得，故在区间[0，π]上，f′（x）的唯一零点是，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故在区间[0，π]上，f（x）的极小值为，当x＞π时，，∴f（x）的最小值为；（2）要证x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，g′（x）＝2（1+x﹣2sin x）e2x+（1﹣2cos x）e2x＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x，令h（x）＝x﹣sin x，x＞0，则h′（x）＝1﹣cos x≥0，即h（x）是（0，+∞）上的增函数，∴h（x）＞h（0）＝0，即x＞sin x，∴3+2x﹣4sin x﹣2cos x＞3+2sin x﹣4sin x﹣2cos x＝3﹣2（sin x+cos x）＝，∴g′（x）＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x＞0，即g（x）是（0，+∞）上的增函数，g（x）＞g（0）＝1，故当x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即得证．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值及证明不等式，考查推理论证及运算能力，属于中档题．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P（x0，y0），求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【分析】（1）由y＝4m，得m＝，代入x＝4m2，求出C的普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点为F（1，0）的抛物线．（2）设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为π﹣α，直线l1的参数方程为，（t为参数），与y2＝4x联立，得t2sin2α+（2y0sinα﹣4cosα）t+y02﹣4x0＝0，由此能证明|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【解答】解：（1）解：由y＝4m，得m＝，代入x＝4m2，得y2＝4x，∴曲线C的普通方程为y2＝4x，∴C的普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点为F（1，0）的抛物线．（2）证明：设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为π﹣α，∴直线l1的参数方程为，（t为参数），与y2＝4x联立，得t2sin2α+（2y0sinα﹣4cosα）t+y02﹣4x0＝0，设方程的两个解为t1，t2，则t1t2＝，∴|PA|•|PB|＝|t1|•|t2|＝||，|PM|•|PN|＝||＝||，∴|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查两组线段乘积相等的证明，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣1|．（1）若f（a）＜2，求a的取值范围；（2）当x∈[a，a+k]时，函数f（x）的值域为[1，3]，求k的值．【分析】（1）f（a）＝|a﹣1|＜2，即可得a的取值范围是（﹣1，3）；（2）对a分类讨论，由单调性即可得f（x）的单调性．【解答】解：（1）f（a）＝|a﹣1|＜2，得﹣2＜a﹣1＜2．即﹣1＜a＜3，所以a的取值范围是（﹣1，3）．（2）当a≥1时，函数f（x）在区间[a，a+k]上单调递增．则[f（x）]min＝f（a）＝a﹣1＝1，得a＝2，[f（x）]max＝f（a+k）＝a+2k﹣1＝3，得k ＝1．当a＜1时，f（x）＝则[f（x）]min＝f（a）＝1﹣a＝1，得a＝0，[f（x）]max＝f（a+k）＝a+2k﹣1＝3，得k＝2．综上所述，k的值是1或2．【点评】本题考查了绝对值不等式，属于中档题．。