第四章 典型例题【例4-1-1】写出下图所示周期矩形脉冲信号的Fourier 级数。

t周期矩形信号分析：周期矩形信号)(~t x 是实信号，其在一个周期[-T 0/2，T 0/2]内的定义为⎩⎨⎧>≤=2/02/ )(~ττt t A t x满足Dirichlet 条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier 级数表示。

解：根据Fourier 级数系数C n 的计算公式，有t t x T C t n T T n d e )(~1000j 2/2/0ω--⎰===--⎰t A T t n d e 10j 2/2/0ωττ 2/2/j 000e )j (ττωω=-=--t t t n n T A 2/)2/sin(00τωτωτTn n A =)2(Sa 00τωτn T A =故周期矩形信号)(~t x 的指数形式Fourier 级数表示式为t n n t n n n n T A C t x 00j 00j e )2(Sa )(e )(~ωωτωτ∑∑∞-∞=∞-∞===利用欧拉公式2e e )cos(00j j 0tn t n t n ωωω-+=可由指数形式Fourier 级数写出三角形式的Fourier 级数，其为()t n n T A T A t x n 00010cos )2(Sa )2()(~ωτωττ∑∞=+=结论：实偶对称的周期矩形信号)(~t x 中只含有余弦信号分量。

【例4-1-2】写出下图所示周期三角波信号的Fourier 级数。

t周期三角波信号分析：周期矩形信号)(~t x 是实信号，其在一个周期 [-1/2，3/2]的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=2321 )1(221 2)(~t t A t At t x满足Dirichlet 条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier 级数表示。

解：由于该三角波信号)(~t x 的周期T 0=2，所以ππ200==T ω。

根据Fourier 级数系数的计算公式，有t t x T C t n T T n d e )(~1000j 2/2/0ω--⎰=t t A t At t n tn d e )1(221d e 221πj 2/32/1πj 2/12/1----+=⎰⎰计算上式积分可得三角波信号的频谱C n 为⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00),2πsin(πj422n n n n A C n 所以周期三角波信号的Fourier 级数表示式为tn n n n n A t x πj 220,e )2πsin(πj 4)(~-=∑∞≠-∞= 利用欧拉公式j2e e )sin(00j j 0tn t n t n ωωω--=可由指数形式Fourier 级数写出三角形式的Fourier 级数，其为==∑∞=t n n n A t x n πsin )2πsin(π8)(~221⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+- t t t t A π7sin 491π5sin 251π3sin 91πsin π82 结论：(1) 实奇对称的周期三角波信号)(~t x 中只含有正弦信号分量。

(2) 例4-1-1的周期矩形信号和例4-1-2的周期三角波信号均可用Fourier 级数tn nn C t x 0j e)(~ω∑∞-∞==表示，所不同的是两者的Fourier 系数不同。

因此，研究Fourier 系数也可获得信号的某些特性。

【例4-1-3】判断下图所示周期矩形信号和周期三角波信号的Fourier 系数的特性。

t(a)周期矩形信号t(b)周期三角波信号分析：首先判断信号时域的对称关系，再利用周期信号的对称特性和Fourier 系数的关系，即可得出相应信号Fourier 系数的特性。

解：(a)信号为实偶对称，满足)(~)(~t x t x -=，故Fourier 系数C n 实偶对称，其三角形式Fourier 级数表示式中只含有直流项和余弦项。

(b) 信号既满足)(~)(~t x t x --=，又满足)2/(~)(~0T t x t x ±=，为实奇对称半波镜像信号，其三角形式Fourier 级数表示式中只含有奇次谐波的正弦信号分量。

结论：利用周期信号的对称特性和Fourier 系数的关系可以建立信号时频的对应关系，定性地判断信号的频谱成份。

【例4-1-4】判断下图所示周期信号)(~t x 的Fourier 系数的特性。

t分析：从信号)(~t x 的波形来看，其不具有任何对称关系。

在这种情况下可以去掉信号的直流分量，再观察波形的对称性。

解：信号的直流分量为A t t x T C T 4.0d )(~10000==⎰)(~t x 去掉直流分量后的波形如下图所示，是半波镜像信号，故只含有奇次谐波分量。

t综合上面的分析，)(~t x 的三角形式Fourier 级数表示式中含有直流项、奇次谐波（正弦和余弦）分量。

结论：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性。

【例4-1-5】利用连续时间Fourier 级数的性质，写出下图所示周期矩形信号)(~t x 的Fourier 级数表示式。

t分析：周期信号)(~t x 可以看成直流分量与例4-1-1周期矩形信号之差，利用Fourier 级数的线性特性和例4-1-1周期矩形信号Fourier 级数表示即可求解本题。

解：周期信号)(~t x 可以看成下图所示直流分量)(~1t x 和周期矩形信号)(~2t x 之差，即 )(~2)(~)(~)(~221t x t x t x t x -=-= 令例4-1-1中周期矩形信号的A =1，2=τ，40=T ，可得)(~2t x 的Fourier 级数表示式为()t n n T A T A t x n 000102cos )2(Sa )2()(~ωτωττ∑∞=+=)2πcos()2π(Sa 5.01tn n n ∑∞=+= 因此)(~t x 的Fourier 级数表示式为)(~2)(~2t x t x -=)2πcos()2π(Sa 5.11tn n n ∑∞=-=tt结论：利用常用周期信号的Fourier 系数和Fourier 级数的性质，可计算其它周期信号的Fourier 系数。

【例4-1-6】利用连续时间Fourier 级数的性质，写出下图所示周期矩形信号)(~t g的Fourier 级数表示式。

周期信号g (t )分析：周期信号)(~t g可以看成例4-1-1周期矩形信号右移0.5，利用Fourier 级数的时移特性和例4-1-1周期矩形信号Fourier 级数表示即可求解本题。

解：周期信号)(~t g 可以表示为)5.0(~)(~-=t x t g 。

令例4-1-1中周期矩形信号的1=τ，20=T ， ω0=2π/ T 0=π，可得)(~t x 的Fourier 系数为)2(Sa 00τωτn T A C n =)2π(Sa 2n A =令)(~t g的Fourier 系数为D n ，利用Fourier 级数的时移特性可得 n n n C D 05.0j e ω-=2/πj e )2π(Sa 2n n A -=因此，周期信号)(~t g的Fourier 级数表示式为 ==∑∞-∞=n tn nC t g0j e)(~ωt n n n n A πj π/2j e e )2/π(/2)Sa (-∞-∞=∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++= t t t A A π5sin 51π3sin 31πsin π22/t结论：)(~t g 与)(~t x 具有)5.0(~)(~-=t x t g 的关系，两者Fourier 级数的模相等，即n n D C =，但相位不同。

这充分体现了周期信号Fourier 级数时移特性的物理含义，即信号在时域的时移对应其在频域的相移。

【例4-1-7】画出例4-1-1以原点为中心对称的周期矩形信号)(~t x 的频谱。

t周期矩形信号分析：周期信号的Fourier 系数就是该信号的频谱。

解：由例4-1-1的计算结果，以原点为中心对称的周期矩形信号)(~t x 的频谱为)2(Sa 00τωτn T A C n =， 2,1,0±±=n由于C n 为实数，因而各谐波分量的相位或为零(C n 为正)或为±π(C n 为负)，因此不需分别画出幅度频谱| C n |与相位频谱φ n 。

可以直接画出Fourier 系数C n 的分布图。

根据抽样函数Sa( t )的曲线便可得信号)(~t x 的频谱图。

ω00周期矩形信号的频谱结论：周期矩形脉冲的频谱具有以下特性：(1)离散频谱特性：频谱是以基频ω0为间隔分布的离散频谱。

由于谱线的间隔ω0=2π/T 0，故信号的周期T 0越大，其基频ω0就越小，谱线越密。

频谱都是由间隔为ω0的谱线组成的离散谱。

不同的周期信号其频谱分布的形状不同，但都 (2)幅度衰减特性：随着谐波n ω0增大，幅度频谱|C n |不断衰减，并最终趋于零。

不同的周期信号对应的频谱不同，但上述特性是周期信号频谱的普遍性质。

【例4-1-8】画出周期信号)(~t x =1+cos(ω0t -π/2)+0.5 cos(2ω0t +π/3)的频谱。

分析：根据周期信号的频谱基本概念，将)(~t x 表示为虚指数信号t n 0j e ω的线性组合（指数形式Fourier 级数），虚指数信号t n 0j e ω的系数就是该信号的频谱。

解：由Euler 公式，周期信号)(~t x 可表示为)e e e e (41)e e e e (211)(~00002j 3j π2j 3/j πj 2/j πj 2/j πt /t t t t x ωωωω----++++=与∑∞-∞==n tn nC t x 0j e)(~ω比较，可得3j π23/j π22/j π12/j π10e 41,e 41,e 21,e 21,1/C C C C C ----=====所以周期信号)(~t x 的频谱C n 如下图所示。

ω周期信号)(~t x 的幅度频谱和相位频谱结论：根据周期信号)(~t x 的幅度频谱和相位频谱，可以清楚看到周期信号中各谐波分量分布情况。

如果已知周期信号的频谱C n ，则可由式∑∞-∞==n tn nC t x 0j e)(~ω重建信号)(~t x 。

信号的时域描述和频域描述是深入分析和研究信号的理论基础。

【例4-2-1】试求图(a )所示非周期矩形脉冲信号x (t )的频谱函数X (j ω)。

tω(a ) 非周期矩形脉冲信号 (b ) 信号频谱函数分析：非周期矩形脉冲信号x (t )满足Dirichlet 条件，其Fourier 变换X (j ω)存在。