法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线 与圆锥曲线交于点 ， 时，则
= =
= =
题型四：弦长公式
例9．已知椭圆 的右焦点 ，且经过点 ，点 是 轴上的一点，过点 的直线 与椭圆 交于 两点（点 在 轴的上方）
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，且直线 与圆 相切于点 ，求 的长.
例10在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，记点 的轨迹为 ．
由①－②得a2(y －y )＋b2(x －x )＝0，
∴ ＝－ · ＝－ · .
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．
题型六：定值问题
1．与圆锥曲线有关的最值和范围的讨论常用以下方法
(1)结合圆锥曲线的定义，利用图形中几何量之间的大小关系；
(2)不等式(组)求解法，根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)，得出参数的变化范围；
专题四：椭圆知识点和常见题型
1、定义：平面内与两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹称为椭圆．
即： 。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在 轴上
焦点在 轴上
图形
标准方程
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长 长轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于 轴、 轴、原点对称
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 与椭圆 交于不同两点 、 ， 点关于 轴的对称点为 ，问直线 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
例13（定值问题）已知直线 经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，设椭圆C的右顶点为B.
（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值；
（2）设点S是椭圆上位于x轴上方的动点，求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值．
例16：椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（ ，﹣ ）
（1）求椭圆标准方程．
（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．
例17：已知直线 与椭圆 恰有一个公共点 ， 与圆 相交于 两点.
（I）求 与 的关系式；
（II）点 与点 关于坐标原点 对称.若当 时， 的面积取到最大值 ，求椭圆的离心率.
(3)函数值域求解法，把所讨论的参数作为一个函数，选一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；
(4)构造一个二次函数，利用判别式求解；
(5)利用不等式，若能将问题转化为“和为定值”或“积为定值”，则可以用基本不等式求解；
例12．（定点问题）已知椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 上的一点.
⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到 。
1.若 =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；
当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若 ，设 。 . 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b. 时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c. 时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 是椭圆 的一个动点,直线 与椭圆 交于 两点,求 面积的最大值.
例14．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ， 分别为椭圆 的上，下顶点，过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于另一点 （异于椭圆的右顶点），交 轴于点 ，直线 与直线 相交于点 .求证：直线 的斜率为定值.
题型七：求离心率
例15已知椭圆 上有一点 ，它关于原点的对称点为 ，点 为椭圆的右焦点，且满足 ，设 ，且 ，求该椭圆的离心率 的取值范围．
求曲线 的方程；
例4．已知 中，角 所对的边分别为 ，且 ，求点 的轨迹方程．
例5在圆 上任取一点 ，过 作 轴的垂线 ， 为垂足.当点 在圆上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程.
题型三：求参数的范围
例6已知椭圆 的上下两个焦点分别为 ，过点 与 轴垂直的直线交椭圆 于 两点， 的面积为 ，椭圆 的离心率为 .
离心率
e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁
通径
过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a
焦半径
公式
题型一：求椭圆的解析式
例1．求椭圆 的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；
例2．求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆 有相同的焦点，且经过点
（2）经过 两点
题型二：求轨迹
例3．在同一平面直角坐标系 中，圆 经过伸缩变换 后，得到曲线 .
例18椭圆 的中心在原点， 分别为左､右焦点， 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且 轴， ，求椭圆的离心率.
题型八：求面积
例19．已知椭圆的焦点在 轴上，长轴长为6，焦距为 ，设P为椭圆上的一点， ， 是该椭圆的两个焦点，若 ，求：
（1）椭圆的标准方程；
（2） 的面积．
.
例20．椭圆 的离心率为 ,且过其右焦点 与长轴垂直的直线被椭圆 截得的弦长为 .
（1）求 的方程；
（2）若直线 ： 与 相交于 ， 两点，求 ．
题型五：中点弦问题
例11设椭圆 的短轴长为4，离心率为 ．
设点 是直线 被椭圆所截得的线段 的中点，求直线 的方程．
[点评]关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.
(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为 ＋ ＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x0，y0)，则
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知 为坐标原点，直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 两个不同的点，若存在实数 ，使得 ，求 的取值范围.
直线与圆锥曲线的位置关系
2.直线与圆锥曲线的位置关系：
⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
题型四：直线与椭圆的位置关系
例7已知椭圆 ： （ ）的左，右焦点分别为 ， ，且经过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若斜率为2的直线与椭圆 交于 ， 两点，且 ，求该直线的方程.
例8．已知 是椭圆 上的一动点.求 到直线 距离的最大值.
弦长问题
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方