双曲线和抛物线一、知识梳理1. 双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值为常数2a(122aF F )的动点P的轨迹叫双曲线，其中两个定点F 1、F 2叫双曲线的焦点.当12122PF PF a F F 时，P 的轨迹为双曲线; 当12122PF PF a F F 时，P 的轨迹不存在;当12122PF PF aF F 时，P 的轨迹为以F 1、F 2为端点的两条射线.2. 双曲线的标准方程和几何性质标准方程222210,0x y a b ab222210,0y x a b ab图形性质范围x ≥a 或x ≤-a y ≤-a 或y ≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点12,0,,0Aa A a 120,,0,A a A a渐近线b yx aa yxb 离心率1,c ea，其中22cab实虚轴线段12A A 叫做双曲线的实轴，它的长122A Aa ；线段12B B 叫做双曲线的虚轴，它的长122B Bb ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长.a ，b ，c 的关系2220,0cab ca cb 3.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 注：当定点F 在定直线l 时，动点的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线.4.抛物线的标准方程和几何性质标准方程22ypx22ypx22xpy22xpy图形▲yxO▲yxO▲yxO▲yxO焦点)0,2(p F )0,2(p F )2,0(p F )2,0(p F 准线2p x2p x 2p y2py范围Ryx ,0R y x ,00,yR x 0,yR x对称轴x 轴y 轴顶点（0，0）离心率1e 二、方法归纳1.(1)求双曲线离心率必须分两种情况，共渐近线的双曲线方程为：2222by ax )0(的形式，它们的渐近线为x ab y.(2)关于双曲线的渐近线，可做如下小结：若已知双曲线方程为12222by ax 或12222bx ay ，则它们的渐近线方程只需将常数“1”换成“0”，再写成直线方程的形式即可；若已知双曲线的两渐近线，先写成一个方程即02222by ax 的形式，再设出双曲线方程2222by ax )0(.2.抛物线题型：利用定义，实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换题型一：双曲线的定义及标准方程【例1】双曲线方程为，则它的右焦点坐标为【例2】已知双曲线C 与双曲线221164xy有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程.【适时导练】1.根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）过点4153，P ，5316，Q.（2）6c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上. 2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点31，P ，且离心率为2的双曲线方程.题型二：与渐近线有关的问题【例1】已知双曲线的渐近线方程是12yx ，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为.【例2】若双曲线222210,0x y a b ab的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为2221xy【例3】设双曲线12222by ax （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角（锐角或直角）θ的取值范围是________；【适时导练】1. 焦点为（0，6），且与双曲线2212x y 有相同的渐近线的双曲线方程是2. 经过点（3，2），且与双曲线2212xy有相同的渐近线的双曲线方程是3.(2014·苏州一调)与双曲线x 29－y 216＝1有公共渐近线且经过点A(－3,23)的双曲线的方程是________．题型三：求离心率或离心率的范围【例1】已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(12222ba by ax 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是变式1．(2013·南京、盐城三模)在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长FA 与另一条渐近线交于点 B.若FB ＝2FA ，则双曲线的离心率为________．变式2. 如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．变式3．(2014·苏州调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线E ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点为A ，过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C两点，若△ABC 为直角三角形，则双曲线E 的离心率为________．变式4．(2014·苏州摸底)过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的焦点垂直于x 轴的弦长为a 2，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为________．变式5．(2014·南通模拟)设F 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过点F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF 与FA 同向，则双曲线的离心率e ＝________.变式6．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．变式7．(2013·镇江质检)设双曲线x 2a 2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线离心率的最大值为________．变式8. 已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 2的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．题型四：抛物线的定义和方程【例1】动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为.【例2】设斜率为2的直线过抛物线的焦点F ，且和轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为【例3】．(2013·扬州期末)若抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________.【例4】．(2014·苏州模拟)顶点在原点且以双曲线x 23－y 2＝1的右准线为准线的抛物线方程是________．【例5】．已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．【适时导练】1.抛物线的焦点坐标是. 2.若抛物线22ypx 的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合，则P 的值.3.抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.P (2,0)F 20x P l 2(0)yax a y 28yx题型五：抛物线的几何性质【例1】已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为.变式：已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点的坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．【适时导练】1.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是2.若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．3.已知抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为________．题型六：双曲线、抛物线的综合1.过双曲线2222by ax =1（a ＞0，b ＞0）的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ，若BC AB21,求双曲线的离心率2.已知：F 1和F 2为双曲线的2222by ax =1（a ＞0，b ＞0）两个焦点，F 1，F 2，P（0，2b ）是正三角形的三个顶点，（1）求：双曲线的离心率；（2）若双曲线经过点Q （4，6），求双曲线的方程。