双曲线与抛物线一、选择题1．设是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则双曲线的离心率是（ ）A 、B 、2C 、D 、【答案】B 【解析】试题分析：作图如下：由知，是中点，又因为，所以，由渐近线的对称性知，又知，所以，即，所以，故选B ．考点：1、双曲线的简单几何性质；2、向量的几何意义． 【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的几何意义，属于难题．本题利用三角形内中线、垂线重合，得到，又利用渐近线性质得到，从而巧妙得出，由此计算椭圆的离心率．2．已知12,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(]1,3 B．(C．⎤⎦D ．[)3,+∞【解析】 试题分析：本题以双曲线为素材，综合考查双曲线的离心率和函数的最值，难度中等．设2||PF t =，则1||2PF a t =+，t c a ≥-．又仅当2t a =时，等号成立．所以2c a a -≤，所以13e <≤．故选A ．考点：双曲线的离心率，函数的最值．3．已知12,F F 是双曲线右两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N （点M ，N 均在第一象限），当直线1MF 与直线ON 平行时，双曲线离心率取值为0e ，则0e 所在区间为（ ） A．(2,3)【答案】A 【解析】试题分析：因，双曲线的渐近线方程与圆222x y c +=联立，得()M a b ，，直线1MF 与直线ON 平行时，即有 ，即()()()2222222a c c a ac a +-=-，即有32232220c a c a c a +--= ，即有320002220e e e +--=，令()32222f x x x x =+--，由于故选A ． 考点：直线与圆锥曲线的位置关系．【思路点睛】求出双曲线的渐近线方程，与圆的方程联立，求得交点M ，再与双曲线的方程联立，求得交点N ，再与两直线平行的条件：斜率相等，得到方程，注意结合a b c ，，的关系和离心率公式，得到320002220e e e +--=，令()32222f x x x x =+--，运用零点存在定理，判断3f 4．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立， 则λ的值为（ ）A ．2221+ B ．132- C ．12+ D ．12- 【答案】D 【解析】试题分析：因为，即222c a ac -=，解之得，又点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知，设三角形12PF F 内切圆半径为r ，则12F F⋅⋅，即1，2所以D ．考点：双曲线的定义及几何性质．5．已知双曲线C，其左、右焦点分别是1F 、2F ．已知点M 坐标为()2,1，双曲线C 上点()00,x y P （00x >，00y >则12PMF PMF S S ∆∆-=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】试题分析：由条件，得1(3,0)F -，2(3,0)F化简整理，①．又P 在双曲线上，解得03x =或（舍去），所以，所以直线1PF 的方程为512150x y -+=，所以点M 到直线1PF 的距离易知点M 到x 轴、直线2PF 的距离均为1，所以点M 是12PF F ∆的内心，所以12PMF PMF S S ∆∆-＝＝2，故选C ． 考点：1、双曲线的定义与性质；2、点到直线的距离；3、平面向量的数量积． 【规律点睛】（1）圆锥曲线与平面向量的综合，通常是将向量表示为坐标形式，然后利用向量运算转化为代数运算进行求解；（2）圆锥曲线中的面积问题通常涉及到三角形的面积，而求三角形面积的关键是确定底边和高的长．6．已知抛物线28y x =，点Q 是圆22:28130C x y x y ++-+=上任意一点，记抛物线上任意一点到直线2x =-的距离为d ，则 ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，由题意知，抛物线28y x =的焦点为(2,0)F ，连接PF ，则．将圆C 化为22(1)(4)4x y ++-=，圆心为(1,4)C -，半径为2r =，则（当且仅当F ,P,Q 三点共线时取得等号）．为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离，显然当F ,Q,C 三点共线时取得最，故应选C ．1、抛物线及其性质；2、圆的标准方程．7．如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）【答案】A. 【解析】A. 考点：抛物线的标准方程及其性质8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则A【答案】C 【解析】试题分析：设连接,A F B F ，由抛物线的定义，可得，则在ABC 中，由余弦定理可得22ba b=++，而即（当且仅当a b=时取等号）考点：抛物线的定义，基本不等式9．已知,A B 是抛物线24y x =上异于顶点O 的两个点，直线OA 与直线OB 的斜率之积为定值4-，F 为抛物线的焦点，,AOF BOF ∆∆的面积分别为12,S S ，则2212S S +的最小值为（ ）A.8B.6C.4D.2 【答案】D 【解析】试题分析：设,4OA OB k k =-代入坐标整理得124y y =-()1,0F考点：1.直线与抛物线相交的位置关系；2.均值不等式10．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，R 在抛物线准线上的射影为S ，设α，β是△PQS 中的两个锐角，则下列四个式子①1tan tan =βα②③1cos cos >+βα④中一定正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C 【解析】试题分析：由于△PQS PQ 垂直对称轴故选C考点：向量加减法几何意义、三角运算、三角函数性质.11． 过抛物线x y 32=上一定点),(00y x M )0(0>y ，作两条直线MB MA 、分别交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，当直线MA 与MB 的值是（ ）A ．3- D试题分析：由⎪⎩⎪⎨⎧==12102033x y x y 作差化简得到：,同理：由已知，MB MA k k -=,考点：直线与抛物线的位置关系.12．过抛物线24x y =的焦点作直线l 交抛物线于A,B 两点，分别过A,B 作抛物线的切线12,l l ,则1l 与2l 的交点P 的轨迹方程是（ ）A.1y =-B.2y =-C.1y x =-D.1y x =-- 【答案】A【解析】试题分析：抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，设直线l 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程得2440x kx --=，由根与系数的关系得124x x =-.设1122(,),(,)A x y B x y .由切线方程分别为的两个根，所以124x x y =.由124x x y =及124x x =-得1y =-，即1l 与2l 的交点P 的轨迹方程是1y =-.–1PM ，N 分别是两圆：4)5(22=+-y x 和1)5(22=++y x ____________．试题分析：设两圆4)5(22=+-y x 和1)5(22=++y x 圆心分别为A ，B ，则A ，B 正好为双曲线两焦点，||||||2(||1)||||323639PM PN PA PB PA PB a -≤+--=-+=+=+=，即最大值为9考点：双曲线定义14．给出下列命题：①直倾斜角②已知过抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则有③已知1F 、2F 为双曲线C ：右焦点，点P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则12PF F ∆的内心I 始终在一条直线上.其中所有正确命题的序号为.【答案】②③ 【解析】试题分析：所以倾斜角为150 ；②抛物线22(0)y px p =>焦点为，设直线为，与抛物线联立方程得③设12PF F ∆的内切圆与边12F F 、2PF 、1PF 分别相切于点D 、E 、F 三点，则I D x x == 22222||||||||||||OF DF OF F E c PF PE -=-=-+2211||||||||||c PF PF c PF PF FF =-+=-+-12||2()22D D I c a F D c a c x a x a x =+-=+-+=-=-所以I x a =,故点I 在过双曲线右支的顶点(,0)a 且与x 轴垂直的直线上.考点：1.直线倾斜角与斜率；2.抛物线和直线相交问题；3.双曲线方程及性质【方法点睛】①中由直线方程首先得到直线的斜率，利用tan k θ=求得倾斜角的值；②中直线与抛物线相交问题一般将直线与抛物线联立，整理为关于x 或y 的二次方程，避免讨论斜率存在与不存在两种情况；③中利用圆外一点作圆的两条切线，切线段长度相等与双曲线定义可得到，结合D 坐标为定值(),0a ，从而得到点I 在直线x a =上15．抛物线24y x =的焦点为F ，过点(0,3)的直线与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，若||||6AF BF +=，则点D 的横坐标为．【答案】4 【解析】试题分析：设()11,y x A ，()22,y x B ，直线AB 方程3+=kx y ，联立⎩⎨⎧+==342kx y xy ，得()094622=+-+x k x k ，，421=+∴x x ，，由图可知，2-=k ，因此AB 方程32+-=x y ，AB 的中点()1,2-，线段AB 的垂直平分线，令0=y ，得4=x ，故答案为4.考点：抛物线的性质.16．如图所示，过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 作直线交C 于A 、B 两点，过A 、B 分别向C 的准线l 作垂线，垂足为','A B ，已知四边形''''AA B F BB A F 与的面积分别为15和7，则''A B F ∆的面积为.【答案】6【解析】则以6)0,c o s而以2332考点：1、抛物线；2、三角形的面积；3、方程组及三角函数运算.三、解答题17．（本小题满分14椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F为顶点的三角形的周长为一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为BA、和C D、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；.【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知：以及2a =22b c +，即可求出椭圆的标准方程为m=2，即可求出双曲线的标准方程； （Ⅱ）设P （00,x y ），()()122,0,2,0F F -，则1k =P 在双曲线224x y -=上，所以22004x y -=，化简即可得到12k k 的值；（Ⅲ）设A （1x ，1y ），B （22,x y ），由于1PF 的方程为()12y k x =+，将其代入椭圆方程得()2222111218880kx kx k+++-=，所以，带入值即可求进而可求. 试题解析：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意知：2a+2c=4）所以c=2，又2a =22b c +，因此b=2。