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椭圆,双曲线,抛物线知识点

渐近线 方程
共渐近线 的双曲线 系方程
焦点 F1 ( F2 )到准线 l1 ( l2 )的距离为 c a2
c
焦点 F1 ( F2 )到准线 l2 ( l1 )的距离为 a2 c
c
ybx a
(虚) 实
xb y a
(虚) 实
x2 a2
y2 b2
k
(k
0)
y2 a2
x2
b2
k(k
0)
直线和双 曲线的位

双曲线 x 2 y 2 1与直线 y kx b 的位置关系: a2 b2
x2
利用
a
2
y2 b2
1转化为一元二次方程用判别式确定。
y kx b
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦 AB 的弦长 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
通径: AB y2 y1
y a,xR
对称轴
x 轴 , y 轴;实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
对称中心
原点 O(0, 0)
焦点坐标
F1(c, 0) F2 (c, 0)
F1(0, c)
焦点在实轴上, c a2 b2 ;焦距: F1F2 2c
F2 (0, c)
顶点坐标 离心率
( a ,0) ( a ,0)
(0, a ,) e c (e 1)
x
F1
F2
yy F2
xx
P F1
第二定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ,当 e 1时,动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点, 定直线叫做双曲线的准线,常数 e ( e 1)叫做双曲线的离心率。
P
yy
P
x
x
F1
F2
yy P F2
xx P
F1
范围
x a, yR
关于 x 轴对称
关于 y 轴对称
p
( ,0)
2
( p ,0) 2
p
(0, )
2
焦点在对称轴上
(0, p ) 2
O(0, 0)
e =1
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到
准线的
p
距离
2
焦点到
准线的
p
距离
设直线过焦点 F 与抛物线 y 2 2 px( p >0)交于 A x1, y1 ,B x2, y2

e 越大椭圆越扁, e 越小椭圆越圆。
x a2 c
y a2 c
准线垂直于长轴,且在椭圆外;两准线间的距离: 2a 2 c
顶点到准 线的距离
顶点
A1

A2
)到准线
l1

l2
)的距离为
a2 c
a
顶点
A1

A2
)到准线
l2

l1
)的距离为
a2 c
a
焦点到准 线的距离
焦点
F1

F2
)到准线
l1

l2
a
(0, a )
准线方程
x a2 c
y a2 c
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离: 2a 2 c
顶点到准 线的距离
顶点 A1 ( A2 )到准线 l1 ( l2 )的距离为 a a 2
c
顶点 A1 ( A2 )到准线 l2 ( l1 )的距离为 a 2 a
c
焦点到准 线的距离
感谢参与知识体系表和基础题整理的老师及这些老师所在教研组的辛勤工作!
04-05 年度参与工作了老师:
三中:艾 梅 铁三中:付春青
鲁迅中学:任成波 56 中:龚 萌
154 中:史环宇 214 中:王 丹 原子能院中学:刘峥嵘 7 中:计德贵
39 中:左福林 42 中:赵国文
31 中:史东辉 等。
04-05 年度参与工作了老师:王丹、薛超、张蓉、张燕化、王屹威、朱雪晨、龚
y kx b
相交弦 AB 的弦长 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
通径: AB y2 y1
过椭圆上 一点的切
线
x0 x y0 y 1 利用导数 a2 b2
y0 y a2
x0 x b2
1
利用导数
二.双曲线
标准方程(焦点在 x 轴)
双曲线
x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2

利用参数方程简便:椭圆
x y
a b
cos sin

为参数)上一点到直线
Ax By C 0 的距离为: d |Aa cos Bb sin C| A2 B2
椭圆 x 2 a2
y2 b2
1与直线 y kx b 的位置关系:
直线和椭 圆的位置
x2
利用
a2
y2 b2
1 转化为一元二次方程用判别式确定。
焦点弦 的几条
性质
则:(1) x1 x2 =
p2 4
(2) y1 y2 p 2
(3)通径长: 2 p
y A x1, y1
oF
x
B x2, y2
(4)焦点弦长 AB x1 x2 p
直线与 抛物线 的位置
切线 方程
抛物线 y 2 2 px 与直线 y kx b 的位置关系:
y kx b
标准方程(焦点在 y 轴) y 2 x 2 1(a 0,b 0) a2 b2
第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值是常数
定义
(小于 F1F2 )的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦
点,两焦点的距离叫焦距。 M MF1 MF2 2a2a F1F2
P
yy
x
盟、李召江、贾雨桐 等教师。
一.椭圆
(焦点在 x 轴)
标准
方程
x2 y2 1(a b 0)
a2 b2
(焦点在 y 轴)
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于定长(定长
大于两定点间的距离)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫焦点,
两定点间距离焦距。M MF1 MF2 2a2a F1F2
过双曲线 上一点的
切线
x0 x a2
y0 y b2
1
或利用导数
y0 y x0 x 1 或利用导数 a2 b2
三.抛物线
y2 2 px ( p 0)

y l
物ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线 OF
y 2 2 px ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
y l
xF O x
y
F
O
x
l
y l
O x
F
定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线,点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。
{ M MF =点 M 到直线 l 的距离}
范围 对称性
焦点
顶点 离心率
准线 方程
x 0, y R x 0, y R x R, y 0 x R, y 0
y
M
F1 O
F2
x
y
F2
M
O
x
F1
定 义 第二定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的 距离的比是小于 1 的正常数时,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭 圆的焦点,定直线是椭圆的准线。 y
y
M
M
F2
M
F1
F2
x
x
F1
M
范围
x a y b
x b y a
顶点坐标
(a,0) (0, b)
(0,a) (b,0)
对称轴
x 轴, y 轴;长轴长为 2a ,短轴长为 2b
对称中心
原点 O(0, 0)
焦点坐标
F1(c, 0) F2 (c, 0)
F1(0, c) F2 (0, c)
焦点在长轴上, c a2 b2 ; 焦距: F1F2 2c
离心率 准线方程
e c (0 e 1) a
, e2
c2 a2
a2 b2 a
)的距离为
a2 c
c
焦点
F1

F2
)到准线
l2

l1
)的距离为
a2 c
c
椭圆上到 焦点的最 大(小)
距离
最大距离为: a c 最小距离为: a c 相关应用题:远日距离 a c
近日距离 a c
椭圆的参 数方程
x
y
a b
cos sin

为参数)
x
y
b cos a sin

为参数)
椭圆上的 点到给定 直线的距
利用
y
2
2 px
转化为一元二次方程用判别式确定。
y0 y p(x x0 ) y0 y p(x x0 ) x0 x p( y y0 ) x0 x p( y y0 )
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