用 x k 代替 x ，得：
0 f 0 ( x) ak (x k) 0 ak (2 x 2k ) ak0 (2 x 2k 1)
kZ
所以
kZ
0 a k , 若l 2k是偶数 1 1 ˆl 0 ˆl (2 x l ) a f 0 ( x) a kZ ak , 若l 2k 1是奇数
重构算法
ˆ1 (2 x l ) w0 ( x) b l
lZ
0 b k , 若l 2k是偶数 1 ˆ bl 0 bk , 若l 2k 1是奇数
结合上面两个式子，有：
f 0 ( x) w0 ( x) al1 (2 x l )
lZ
0 0 a b k k , 若l 2k 是偶数 1 1 1 ˆ ˆl bl 0 0 al a ak bk , 若l 2k 1是奇数
6.空间 W j
V j ，V j 1 ，得到： 不断的分解
V j W j 1 V j 1 W j 1 W j 2 V j 2 ... 所以V j中的任一 f 可唯一地分解
为以下的和式：
V j W j 1 W j 2 ... W0 V0
f w j 1 w j 2 ... w0 f 0
分解算法
把 f j ( x) ak (2 j x k ) 分解为偶部和奇部：
f j ( x) a2 k (2 j x 2k ) a2 k 1 (2 j x 2k 1)
kZ kZ
kZ
a2 k ( (2 j 1 x k ) (2 j 1 x k )) / 2
f ( x) al (2 x l )
lZ j l
f 可由以高为 a 、宽为 l / 2 j x (l 1) / 2 j 的阶
梯函数表示。
2.重构算法
研究对象：
f ( x) f 0 ( x) w0 ( x) ... w j 1 ( x)
其中，
0 f 0 ( x) ak ( x k ) V0
kZ
a2 k 1 ( (2 j 1 x k ) (2 j 1 x k )) / 2
a2 k a2 k 1 a2 k a2 k 1 j 1 ( ) (2 x k ) ( ) (2 j 1 x k ) 2 2 kZ kZ
w j 1 f j 1
3.空间
Vn
的性质
1） V0 V1 V2 Vn 1 Vn Vn 1 由于 (2 x) V1 ,
(2 x) V0 因此上面的包含关系严格成立。
n f ( x ) V f (2 x ) Vn 2） 0
3.空间
3） 函数集
Vn
的性质
个标准正交基。 其中系数 2 因为
分解算法
与 之间的关系式：
(2 x) ( ( x) ( x)) / 2
(2 x 1) ( ( x) ( x)) / 2
用2
j 1
x k 取代 x ，可得以下两式：
(2 j x 2k ) ( (2 j 1 x k ) (2 j 1 x k )) / 2 (2 j x 2k 1) ( (2 j 1 x k ) (2 j 1 x k )) / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
wl ( x) bkl (2l x k ) Wl
kZ
kZ
0 l j 1
j j f f ( x ) a (2 x l ) ，而 目的：把 重新表示为 l l 且要找到一个计算 alj 的算法。
重构算法
应用下列等式：
( x) (2 x) (2 x 1) ( x) (2 x) (2 x 1)
重构算法
（Haar重构）设
f f 0 w0 w1 ... w j 1
这里，
0 f 0 ( x) ak ( x k ) V0 kZ
w j ( x) bkj (2 j x k ) W j
0 j j
那么
kZ
f ( x) alj (2 j x l ) V j
下取样 算子D
分解公式表示为：
bkj 1 DH (a j ) k
H
akj 1 DL(a j ) k 2
b j 1 a j 1
aj
L
2
4.重构实现
重构算法： 和 L ，相应的冲击相应为： 两个离散滤波器 H
(...0...1 1...0...), l (...0...11...0...) h
j/2
j/2 j 2 (2 x k ); k Z 是V j 的一
的存在是


( (2 j x)) 2 dx 1/ 2 j
4.Haar小波函数
构造 的两个关键点： 1. 是 V1 的成员，所以可表示为
( x) al (2 x l ), al R（仅有有限个 al 非零）
其中，
kZ
j j a a 2 k 1 bkj 1 2 k 2
j j a a 2 k 1 akj 1 2 k 2
分解算法
f j w j 1 w j 2 ... w0 f 0
下一步可滤波或压缩 系数 bkj 已被修改，需要一个重构算法，以便被 j (2 x l) V 压缩或滤波的信号能根据 j 的基元素 重建，即 j j
1
l
f w j 1 w j 2 w1 w0 f 0 , wl Wl
§2
基于Haar小波的分解算法与重构算法
1.分解算法 第一步，用一阶梯函数近似原信号 f ：
f j ( x) al (2 j x l )
lZ
j j x ..., 1/ 2 , 0,1/ 2 ,... 处取样，从而 对信号在 得到 j al f (l / 2 ), l Z
k 1,0 k 1,0
结果 H ( x) (h * x) 1 x 1 x k k k k 1
2 2 1 1 L( x) k (l * x) k xk xk 1 2 2
分解实现
1 1 H ( x) 2 k (h * x) 2 k x2 k x2 k 1 2 2 1 1 L( x) 2 k (l * x) 2 k x2 k x2 k 1 2 2
其中 wl Wl , 0 l j 1 且 f 0 V0
上面讨论了空间 V j 中的任意元素可以逐级唯一分解系列子 空间序列 Wk 上元素与空间 V0 上的元素的和， 即 其中wl 表示当且仅当在长度为 2 的区间上取简单常数的 函数。当 l 充分大时，该函数可以用来表示噪音 ，例如 假设持续时间低于0.02 的信号被看作噪声，则由于 2 6 0.02 2 5 因此对 l 6 的 wl 都可以被当作噪声来处理。为 了达到去噪声的目的，将 l 6 的分量设置 wl =0 其他剩 余的信号近似地看成实际信号内容。
j1 j1 a b k k , 若l 2k 是偶数 j al j1 j1 a b k , 若l 2k 1是奇数 k
lZ
3.分解实现
分解算法： 离散滤波器H和L，其冲击响应分别为 h和 l ：
1 1 1 1 h (...0... ...0...),l (...0... ...0...) 2 2 2 2
第3章 哈尔小波分析
• Haar小波 • Haar分解和重构 • 分解和重构实现 • 信号处理步骤
§1.Haar小波
有两个函数在小波分析中起着非常重要的 作用，即尺度函数 和小波函数 ，这两个函 数产生了一组可以用于分解和重构信号的函数 族。
有时称为“父小 在构造该函数族中， 称为“母小波”。 波”，
4.Haar小波函数
利用正交性，可以求出参数a, b 之值，并规范化，得
1 1, x 0, 2 1 ( x) 1, x ,1 2 0, 其他
Haar小波函数
1 0 0 0.5 -1 1 0 x
Haar小波函数为：
kZ
分解算法
结论：设
f j ( x) akj (2 j x k ) V j
kZ
那么 f j 可分解为：
f j w j 1 f j 1
这里，
w j 1 bkj 1 (2 j 1 x k ) W j 1
kZ
f j 1 akj 1 (2 j 1 x k ) V j 1
k 0,1 k 0,1
* x) x x 和 (l * x) k xk xk 1 有 (h k k k 1 如果 x, y 是两个奇部为0的序列，那么
x2 k l 2k 偶数 y2 k l 2k 偶数 ( h * x )l (l * y )l x2 k l 2k 1奇数 y2 k l 2k 1奇数
V j 1 V j W j
kZ
Vn
定理 kZ 间，其中ak 含有限个非0项，则W j 构成 V j 在 V j 1中的正交补，并且
Vj1 Vj Wj
j a (2 x k )，ak R 的函数所组成的线性空 W k 设 j 是由形如
证明 上述定理的证明包含两个方面； W j 中的每一个函数均与 V j 中的任意函数正交 （1） （2） V j 1 中的每一个与空间V j 正交的函数均属于空间 W j
1.Haar尺度函数
• Haar尺度函数定义为：
( x)
Y