《概率论与数理统计》练习题7答案7
考试时间：120分钟
题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分）
1、设随机事件A 、B 互斥，(), (),P A P P B q ==则()P A B = ( )。
A 、q
B 、1q -
C 、p
D 、1p -
答案：D
2、某类灯泡使用时数在500小时以上的概率为0.5，从中任取3个灯泡使用，则在使用500小时之后无一损坏的概率为：( )。
A 、
18 B 、28
C 、38
D 、
4
8
答案：A
3、设ξ的分布函数为1()F x ，η的分布函数为2()F x ，而12()()()F x aF x bF x =-是某随机
变量ζ的分布函数，则, a b 可取( )。
A 、32, 55a b =
=- B 、2
3a b == C 、13 , 22a b =-= D 、13
, 22
a b ==-
答案：A
4、设随机变量ξ,η相互独立,其分布律为:
则下列各式正确的是( )。
A 、{}1P ξη==
B 、{}14
P ξη== C 、{}12
P ξη==
D 、{}0P ξη== 答案：C
^^
5、两个随机变量的协方差为cov(,)ξη=( )。
A 、()()2
2
E E E ηηξξ-- B 、()()E E E E ξξηη-- C 、()()2
2
E E E ξηξη-⋅ D 、()E E E ξηξη-⋅ 答案：D
6、设随机变量ξ在11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上服从均匀分布sin ηπξ=的数学期望是( )。
A 、0
B 、1
C 、
1
π
D 、
2
π
答案：A 7、设
12100,,,ξξξ⋅⋅⋅服从同一分布，它们的数学期望和方差均是2，那么
104n
i i P n ξ=⎧⎫
<<≥⎨⎬⎩⎭
∑( )。
A 、
12 B 、212n n - C 、12n D 、1n
答案：B
8、设12, , , n X X X 是来自正态总体2
(, )N μσ的样本( )。
A 、2
1
1~(,)n i i X X N n μσ==∑
B 、211()~(0, )n i X N n n
σμ=-∑
C 、22
2111()~(1)n i i X n n μχσ=⋅--∑
D 、22
21
11()~()n i i X X n n χσ=⋅-∑
答案：B
9、样本12(,,, )n X X X ，2n >,取自总体ξ，E μξ=，2
D σξ=，则有( )。
A 、i X (1i n ≤≤)不是μ的无偏估计
B 、
22121()()2X X μμ⎡⎤-+-⎣⎦是2σ的无偏估计 C 、22121()2()3
X X μμ⎡⎤-+-⎣⎦是2
σ的无偏估计 D 、21
1()1n
i i X n μ=--∑是2σ的无偏估计 答案：D
10、已知若~(0,1)
Y N ,则
{ 1.96}0.05P Y ≥=。
现假设总体
1225~(,9),,,,X N X X X μ 为样本,X
为样本均值。
对检验问
题:0010:,:H H μμμμ=≠。
取检验的拒绝域为1225{(,,,)C x x x = 0x μ-},取显著性水平0.05α=,则a =( )。
A 、 1.96a =
B 、0.653a =
C 、0.392a =
D 、 1.176a = 答案：D
二、填空（5小题，共10分）
1、6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个不同单位，每单位1人。
则分配方法有______种。
答案：(6543)360⨯⨯⨯=
2、已知()0.6, ()0.5, (|)0.8,P A P B P A B ===则()P A B = __________。
答案：0.74
3、若随机变量ξ的概率密度是()x ϕ，则随机变量3ηξ=的概率密度是____________。
答案：(
)y ψ=
0y ≠
4、已知
1{) (0
!P k k k e
ξηξ=
===- 则()E η=_________()D η=_______
答案：()3E η= ()16D η=
5、设样本12(,,,)n X X X 抽自总体22~(, ). , X N μσμσ均未知。
要对μ作假设检验，统计假设为00:, H μμ=(
0μ已知)，10:, H μμ>则要用检验统计量为
__________，给定显著水平α，则检验的拒绝区间为__________。
答案：统计量为~(1),X t t n =-其中2
211()1n
i i S X X n ==--∑ 拒绝区间为1(1) t n t α--≤<+∞
三、计算（5小题，共40分）
1、从一付扑克的13张黑桃中，一张接一张地有放回地抽取3次，求没有同号的概率。
答案：A 表示事件“没有同号” 基本事件总数3
13
A 所包含事件数13⨯12⨯11
3
131211132
()0.78113169
P A ⨯⨯=== 2、设ξ的分布律为
求21ηξ=+的分布律 答案：
3、一袋中有21张卡片，每张卡片上各标有自然数1，2，3，4，…，21中的一个数字，从袋中任取一张卡片，且每张卡片被取到的可能性是相同的，设随机变量
1,0,
ξ⎧=⎨
⎩取出的卡片上标有偶数取出的卡片上标有奇数
1,0,
ξ⎧=⎨
⎩取出的卡片上的数字能被3整除取出的卡片上的数字能不被3整除
试写出(ξ，η)的联合概率分布律及关于ξ和关于η的边缘概率分布律 答案：(ξ，η)的联合分布列
关于ξ的边缘分布列
关于η的边缘分布列
4、设随机变量12,,,n ξξξ⋅⋅⋅相互独立具，都服从2
(,)N a σ分布，求1n k i i E ξξ=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑其中k ξ为
12,,,n ξξξ⋅⋅⋅中的某一个随机变量。
答案：()111
n n n
k i k i k i i i i E E E ξξξξξξ===⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑
()2
1n
k
k i
i i k
E E ξξξ=≠=+
∑
()()2
1n
k k k
i
i i k
D E E E ξξξξ=≠=++
∑
()222221a n a na σσ=++-=+
5、设总体X 的分布密度为1(,)(,0)2x
x e x θ
ϕθθθ
-=-∞<<+∞>12,,n x x x 为X 的样
本，求参数θ的矩估计量。
答案：()()0E X x x dx ϕ+∞
-∞
=
=⎰
，∴不能利用()E X 构造θ的估计。
2
22()()2E X x x dx ϕθ+∞
-∞
==⎰
221
()2
E X θ∴=
ˆθ==
四、应用（2小题，共20分）
1、某大学生回答了卷面上的问题后还要回答补充题，仅当该大学生回答不出补充题时，教师才停止提问。
该生能答出任一补充题的概率等于0.9。
求答出补充题个数ξ的分布律。
答案： {}(0.9)(0.1)k p k ξ==⨯ 0,1,2,3,k =
2、一药厂试制成功一种新药，卫生部门为了检验此药的效果，在100名患者中进行了试验，决定若有75名或更多患者显示有效时，即批准该厂投入生产，如果该新药的治愈率确实为80%，求该药能通过这地检验的概率是多少？已知标准正态分布函数0,1F (x)的值。
0,1F (0.313)=0.6217，0,1F (1.25)=0.8944，0,1F (0.13)=0.5517
答案：设100名参试的患者中，该药显示效果的人数为ξ，假定各患者的情况彼此独立，则可认为ξ服从B (100，0.8)
100,0.8,4n p np ====
应用德莫−拉普拉斯中心极限定理知该药能通过检验的概率是：
{}8075807514
4P P ξξ--⎧⎫
≥=-<⎨⎬⎩⎭()()0,10,11 1.25 1.25F F ≈--==0.8944。