习题一 (A )1.写出下列随机试验的样本空间: (1)一枚硬币连抛三次;(2)两枚骰子的点数和;(3)100粒种子的出苗数;(4)一只灯泡的寿命。
2. 记三事件为C B A ,,。
试表示下列事件:(1)C B A ,,都发生或都不发生;(2)C B A ,,中不多于一个发生;(3)C B A ,,中只有一个发生;(4)C B A ,,中至少有一个发生; (5)C B A ,,中不多于两个发生;(6)C B A ,,中恰有两个发生;(7)C B A ,,中至少有两个发生。
3.指出下列事件A 与B 之间的关系:(1)检查两件产品,事件A =“至少有一件合格品”,B =“两件都是合格品”; (2)设T 表示某电子管的寿命,事件A ={T >2000h },B ={T >2500h }。
4.请叙述下列事件的互逆事件:(1)A =“抛掷一枚骰子两次,点数之和大于7”; (2)B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”; (3)C =“射击三次,至少中一次”;(4)D =“加工四个零件,至少有两个合格品”。
5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。
6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求:(1)电话号码由完全不相同的数字组成的概率;(2)电话号码中不含数字0和2的概率;(3)电话号码中4至少出现两次的概率。
7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。
8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求:(1)所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率;(2)所抽取的10个苹果中没有次品的概率。
9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ⋃;)(A B p 。
10.已知41)(=A p ,31)(=AB p ,21)(=B A p ,求)(B A p ⋃。
11.一批产品共有10个正品和4个次品,每次抽取一个,抽取后不放回,任意抽取两次,求第二次抽出的是次品的概率。
12.已知一批玉米种子的出苗率为0.9,现每穴种两粒,问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少?13.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回,求第三次才取得正品的概率。
14.10个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回),甲先、乙次,丙最后。
求: (1)甲抽到难签;(2)甲、乙都抽到难签;(3)甲没抽到难签而乙抽到难签;(4)甲、乙、丙都抽到难签的概率。
15.设A ,B 为两事件,且7.0)(,6.0)(==B p A p ,问(1)在什么条件下)(AB p 取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下)(AB p 取到最小值,最小值是多少?16.设事件A 与B 互不相容,且1)(0<<B p ,试证明)(1)()(B p A p B A p -=。
17.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处,当任一河流泛滥时,该地区被淹没。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1,乙河流泛滥的概率为0.2,当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为0.3,求(1)该时期内这个地区被淹没的概率?(2)当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率是多少?18.12个乒乓球都是新球,每次比赛时取出3个用完后放回去,求第三次比赛时取到的3个球中有2个是新球的概率。
19.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求:(1)全厂的次品率;(2)如果抽出的产品是次品,此产品是哪个车间生产的可能性大?20.设一仓库中有12箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、4箱、3箱,三厂产品的废品率依次为0.1,0.15,0.18,从这12箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得合格品的概率;若取得合格品,问该产品为哪个厂生产的可能性大?21.设患乙肝的人经过检查,被查出患乙肝的人概率为0.95,而未患乙肝的人经过检查,被误认为有乙肝的概率为0.002;又设全城居民中患有乙肝的概率为0.001。
若从居民中随机抽一人检查,诊断为有乙肝,求这个人确实有乙肝的概率。
22.据统计男性有5%是患色盲的,女性有0.25%的是患色盲的,今从男女人数相等的人群中随机挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?23.两射手彼此独立地向一目标射击,设甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,则目标被击中的概率是多少?24.某射手的命中率为0.95,他独立重复地向目标射击5次,求:(1)恰好命中4次的概率;(2)至少命中3次的概率。
25.事件C B A ,,相互独立,证明C B A ,,也相互独立。
26.高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立),设每发炮弹击中敌机的概率均为0.3。
又知若敌机中一弹,其坠落的概率为0.2;若敌机中两弹,其坠落的概率为0.6;若敌机中三弹则必然坠落。
(1)求敌机被击落的概率;(2)若敌机被击落,求它中两弹的概率。
27.袋中有10个乒乓球,其中7个黄的,3 个白的,不放回地依次从袋中随机取一球。
试求第一次和第二次都取到黄球的概率。
(B )1.已知某家庭有3个小孩,且至少有一个是女孩,求该家庭至少有一个男孩的概率。
2.甲、乙、丙3部机床独立工作,由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9,0.8及0.85。
求:(1)在这段时间内有机床需要工人照管的概率;(2)机床因无人照管而停工的概率;(3)若3部机床不需要工人照管的概率均为0.8,这段时间内恰有一部机床需要人照管的概率。
3.设b B p a A p ==)(,)(,则bb a B A p 1)(-+≥。
4.若)()(A p B A p ≥,则)()(B p A B p ≥。
5.已知三事件321,,A A A 都满足)3,2,1(=⊂i A A i ,证明:2)()()()(321-++≥A p A p A p A p 。
6.酒店一楼有三部电梯,今有5位客人要乘电梯.假定选择哪部电梯是随机的,求每部电梯内至少有一位旅客的概率。
7.有6匹赛马,编号为1,2,3,4,5,6.比赛时,它们越过终点的顺序是等可能的,记A =1号马跑在前三位,B =2号马跑在第二位,求)(A p ,)(B p 和)(AB p 。
8.设C B A ,,是两两独立且不能同时发生的随机事件,且x C p B p A p ===)()()(,求x 的最大值。
9.带活动门的小盒子中有采自同一巢的20只工蜂和10只雄峰,现随机地放出5只做实验,求其中有3只工蜂的概率。
习题二 (A )1.下列函数中哪些可以作为某个随机变量的分布函数,并说明理由。
(1))(,21)(22R x e x F x ∈=-π;(2)x x F sin )(=; (3) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=1,11,11)(2x x x x F ;(4) ⎪⎩⎪⎨⎧>=≤=0,10,6.00,0)(x x x x F 。
2.设离散型随机变量X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=1,110,7.001,2.01,0)(x x x x x F求X 的分布列。
3.设离散型随机变量X 的分布列为求:(1)X 的分布函数;(2)}5.0{>X p ;(3)}31{≤≤-X p 。
4.设随机变量X 的概率函数为:n k nak X p ,,1,0,}{ ===,试确定常数a 。
5. 设随机变量X 服从泊松分布,且}2{}1{===X p X p ,求}4{=X p 及}1{>X p 。
6.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号.(1)进行了5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率; (2)进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率. 7.设随机变量X 的密度函数为(1)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,021,)11(2)(2x xx f ;(2)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=其它,021,210,)(x x x x x f , 求X 的分布函数)(x F .8.设随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤<+=其它,010,)(x bx a x f , 且83}21{=≤X p ,试求出 a ,b 。
9.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧->=-其它,01,)(2x ce x f x ,求:(1)c ;(2)}21{<<X p ;(3)X 的分布函数。
10.设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-,0,0;0,)(x x Ae x f x ,求:(1)A ;(2)}40{≤<X p ;(3)X 的分布函数。
11.在长度为t 的时间间隔内到达某港口的轮船数X 服从参数为3/t 的泊松分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)。
某天12至15时至少有一艘轮船到达该港口的概率为多少?12.若随机变量X 在]6,1[上服从均匀分布,试求方程012=++Xx x 有实根的概率。
13.设随机变量),2(~2σN X ,且3.0}42{=<<X p ,求概率}0{<X p 。
14.设)25,4(~N X ,求}80{<<X p 。
15.由某机器生产的螺柱的长度(c m )服从正态分布)06.0,05.10(2N ,规定长度在范围 10.05±0.12内为合格品,求一螺柱为合格品的概率。
16.某种型号器件的寿命X (以小时计)具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧>=.,0,1000,1000)(2其它x x x f现有大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立),任取5只,问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少?17.设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x ax x x F ,求:(1)系数a ;(2)}7.03.0{<<X p ;(3)密度函数)(x f 。
18.设),(Y X 的联合分布为下表(1)求Y X ,的边缘分布;(2)判别Y X ,是否独立。
19.设二维随机变量),(Y X 只能取数组()()10,0,1,1,1,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭(),2,0的值,且取这些组值的概率依次为111,,,6312512,写出),(Y X 的联合分布列并求出Y X ,的边缘分布。
20.已知随机变量Y X ,的分布列分别为且1}0{==XY p ,求(1)Y X ,的联合分布列;(2)Y X ,是否独立?为什么?21.已知二维随机变量),(Y X 的联合联合分布列为问当βα,为何值时,Y X ,相互独立?22.设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其它,00,0,),()(2y x ce y x f y x ,试求常数c ,并判别Y X ,是否独立。