例4 设n阶实对称矩阵A满足A2 A, 且A的秩为r , 试求行列式 det 2 E A的值.
该方程组的一个基础解系为1 1,1, 0 , 2 1, 0, 1 .
1 1 令S 1 , 2 , X 3 1 0 0 1 S 1 AS diag(2, 2,3) ， 从而
1 1 ，则 S 为可逆阵，且 1
将X1，X 2正交化，令
1 X1 [2,1, 0]T ( X 2 , 1 ) 4 2 4 2 X2 1 X 2 5 1 [ 5 , 5 ,1]T . ( 1 , 1 )
将1， 2单位化得
1 1 | [ | 1
2 1 , , 0]T , 5 5
T
参数k 和矩阵A.
解 因为A 实对称，故 X X 3，有 0 ( X , X 3 ) 97 k 99 k 2.
方法一、设X1 x1 , x2 , x3 是矩阵A属于特征值2的
T
一个特征向量，则
( X1 , X 3 ) x1 x2 x3 0.
T T
(I) 当1 2 1时，解( E A) X 0， 1 2 2 1 2 2 0 0 0 EA 2 4 4 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4 4 0 0 0 得特征向量X1 [2,1, 0]T ， X 2 [2, 0,1]T
T A 111T 222 T n n n .
, n是A的n个
,n为相应的n个标准正交的特征
例3 (课后15题） 设 3 阶实对称矩阵A的特征值为 2, 2, 3, 且 X 97 , k , 99 为矩阵A的属于特征值 2的一个特征向量，
T
X 3 1 ,1 ,1 为矩阵A 的属于特征值 3的一个特征向量, 求
定理6.2 若实矩阵A正交相似于对角矩阵D, 则A必为实对称矩阵.
即，与对角阵正交相似的矩阵必为实对称矩阵.
实对称矩阵的性质
1、n 阶实对称矩阵A必有n个实特征值. （定理6.3）
2、 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征 向量必正交.（定理6.4 ）
3、实对称矩阵A的每个特征值的几何重数 等于代数重数.
1 |1|
1 1 1 ，则Q为可逆阵，且 令Q 1 ,2 ,3 1 0 1 0 1 1 Q 1 AQ Q T AQ diag(2, 2,3) ， 从而
A Q Q 1 Q Q T
1 2 1 2 1 6 1 6 2 0 6 1 3 2 1 3 1 3 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 3 0 2 6 1 3
方法二、设X1 x1 , x2 , x3 是矩阵A属于特征值2的
T
一个特征向量，则
T
( X1 , X 3 ) x1 x2 x3 0.
T
观察可知该方程组的一个基础解系为
1 1,1, 0 , 2 1, 1, 2 ,且 1 , 2正交.
由A 实对称可知1 , 2 , X 3为正交组. 将1 , 2 , X 3单位化得 1 1 2 T 1 [1,1, 0] , 2 [1,1, 2]T , | 2 | 2 6 1 X3 2 | X | [1,1,1]T , 3 3
6.2 实对称矩阵的对角化
定义6.3 设A, B R 使得 S AS S AS B,
T 1 nn
, 若存在正交矩阵S ,
则称A正交相似于B.
注
(1) 正交相似是一种等价关系.
(2) 正交相似必相似.(反之不成立）
4 3 1 0 例如：A , B , 2 1 0 2 二者相似，但不能正交相似. (因为与对角阵正交相似的一定是对称阵）
（2）求(i E A) X 0的基础解系，并组内 施以施密特正交化和单位化，得到A的属于特 征值i的ni 个标准正交的特征向量 ( I i )： i1 , i 2 , , ini (i 1, 2, t)
（3）令S I1 , I 2 ,
, I t ，则S是正交矩阵, 且 , t Ent ).
注1 设A是实对称矩阵, 则r ( A) A 的非零特 征值的个数. 注2 与实对称矩阵正交相似的矩阵一定是
实对称的.
定理6.7 设A, B是n 阶实对称矩阵, 则 A与B正交相似 相似 A与B特征值相同.
注意 对于一般的n 阶矩阵A, B, A与B正交相似 相似 A与B特征值相同， 但反之未必成立.
1 1 1 A S S 1 3 0 7 1 1 3 1
1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 0 1 1 1 3 1 1 1 1 1 7 1 . 1 7
定理6.3的意义
由于对称矩阵A的特征值 i 为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E)x 0 是实系数方程组 ,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
定理6.6 n 阶实对称矩阵A必正交相似于实对 角矩阵, 即存在正交矩阵Q, 使得 Q AQ Q AQ diag(1 , 2 ,
2 2 | [ | 2
2
3 5 3 5 3 5
,
4
,
5
]T ,
(II) 当3 10时，解(10 E A) X O， 得特征向量 将X 3单位化得 X 3 [2,1, 2]T . X3 3 [ 2 , 1 , 2 ]T |X 3 | 3 3 3
2 1 2 5 3 5 3 1 4 2 令Q [1 ,2 ,3 ] ,则Q为正交阵， 3 5 3 5 5 2 0 3 3 5 且 Q 1 AQ Q T AQ diag[ 1, 1, 10].
2
2
2 4
2
2 0
2
2
5
4
5
5 4 1 1
2
2 0
4 2 4 2 2 9 4 ( 1) 2 9 0 1
( 1) 2 ( 10) 故A的全部特征值为1 2 1 , 3 10
1 2 例2 与矩阵 正交相似的为__________. 2 3 1 1 0 1 (A) (B) 1 3 1 4 2 3 1 1 (C) (D) 3 4 4 3
答：(B).
谱分解定理 设A为n阶实对称矩阵，1 , 2 , 特征值，1 ,2 , 向量，则
S 1 AS S T AS , 其中 diag(1 En1 , 2 En2 ,
(书226页11题)
2 2 2 , 求正交矩阵Q及对角 例1 设A 2 5 4 5 2 4 T 矩阵 , 使得Q AQ .
解
2 E A 2
T 1
, n ).
若记Q [1 ,2 , 可推出1 , 2 ,
,n ], 由 , n, , n
AQ Q Ai ii , i 1, 2,
, n是A的n个特征值, 1 , 2 ,
是与之相应的A的n个标准正交特征向量.
实对称矩阵的正交对角化步骤如下： （）计算 1 E A 0, 求出A的全体互异的 特征值1，2， ，t，它们的代数重数分别为 n1 , n2 , , nt ；

2

方法三、实对称矩阵A 2 E3 的全部特征值为 0,0,1，令Y
1 3
X 3，则Y 为A 2 E3属于特征值
1的单位特征向量.由实对称矩阵的谱分解定理， 1 1 1 1 1 T A 2 E3 1 YY 1 1 1 1 1 1 1 , 3 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 7 1 . 故 A 2 E3 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 7